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【题目】如图,在正方形ABCD中,点P在AD上,且不与A、D重合,BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点,垂足为Q,过E作EH⊥AB于H.

(1)求证:HF=AP;

(2)若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段EQ的长.

【答案】(1)证明见试题解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)EQBO,EHAB得EQN=BHM=90°,由EMQ=BMH得EMQ∽△BMH,故QEM=HBM.由ASA定理得APB≌△HFE,故可得出结论;

(2)根据勾股定理求出BP的长,EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP,再锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长,由(1)知,APB≌△HFE,故EF=BP=,再EQ=EF﹣QF即可得出结论.

试题解析:(1)EQBO,EHAB,∴∠EQN=BHM=90°∵∠EMQ=BMH,∴△EMQ∽△BMH,∴∠QEM=HBM在RtAPB与RtHFE中,QEM=HBMPAB=FHE,AB=EH,∴△APB≌△HFE,HF=AP;

(2)由勾股定理得,BP===4EF是BP的垂直平分线,BQ=BP=QF=BQtanFBQ=BQtanABP==由(1)知,APB≌△HFE,EF=BP=EQ=EF﹣QF==

练习册系列答案
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