Question

4．如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．
（1）当t=$\frac{1}{3}$时，求直线DE的函数表达式：
（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当OD²+DE²取最小值时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）通过角的计算找出∠CDO=∠BED，从而得出Rt△CDO∽Rt△BED，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{CD}{BE}=\frac{CO}{BD}$，代入数据求出BE，即可得出点E的坐标，根据点D、E的坐标利用待定系数法即可求出直线DE的函数表达式；
（2）假设存在最大值，根据Rt△CDO∽Rt△BED可得出$\frac{CD}{BE}=\frac{CO}{BD}$，求出BE=t-t²，再根据梯形的面积公式用t表示出S，配方后即可得出结论；
（3）在Rt△ODE中，由勾股定理即可得出OD²+DE²=OE²，进而得出当OD²+DE²最小时OE最小，在Rt△OAE中，当OE最小时，AE最小，由此即可得出当OD²+DE²最小时，梯形COEB的面积达到最大值，结合（2）的结论即可求出点E的坐标．

解答 解：（1）∵DE⊥OD，
∴∠CDO+∠BDE=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BED+∠BDE=90°，
∴∠CDO=∠BED，
∴Rt△CDO∽Rt△BED，
∴$\frac{CD}{BE}=\frac{CO}{BD}$，即$\frac{\frac{1}{3}}{BE}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}$，
∴BE=$\frac{2}{9}$，E（1，$\frac{7}{9}$）．
设直线DE的一次函数表达式为y=kx+b，
将D（$\frac{1}{3}$，1）、E（1，$\frac{7}{9}$）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}k+b=1}\\{k+b=\frac{7}{9}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{10}{9}}\end{array}\right.$，
∴直线DE的函数表达式为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{10}{9}$．
（2）假设存在最大值．
由（1）Rt△CDO∽Rt△BED，
∴$\frac{CD}{BE}=\frac{CO}{DB}$，即$\frac{t}{BE}=\frac{1}{1-t}$，
∴BE=t-t²，
S=$\frac{1}{2}$BC•（OC+BE）=$\frac{1}{2}$×1×（t-t²）=-$\frac{1}{2}$$（t-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{5}{8}$．
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，S取最大值，最大值为$\frac{5}{8}$．
（3）在Rt△ODE中，OD²+DE²=OE²，
∴当OD²+DE²取最小值时，斜边OE取最小值，
∴当斜边OE取最小值时且一直角边OA为定值时，另一直角边AE达到最小值，
∴△OEA的面积达到最小值，
此时，梯形COEB的面积达到最大值．
由（2）可知：当t=$\frac{1}{2}$时，梯形COEB的面积达到最大值，
∴BE=$\frac{1}{2}$-$（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
此时点E的坐标为（1，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式、勾股定理以及利用配方法求二次函数最值，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线DE的表达式；（2）根据梯形的面积公式表示出S关于t的函数关系式；（3）找出当OD²+DE²最小时，梯形COEB的面积达到最大值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出对应边的比是关键．