Question

【题目】已知:如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC，点E为边BC上一点,且AE=DC.

（1）求证:四边形AECD是平行四边形;

（2）当∠B=2∠DCA时,求证四边形AECD是菱形.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由等腰梯形的性质（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B=∠DCB，又由等腰三角形的性质（等边对等角）证得∠DCB=∠AEB，即可得AE∥DC，则四边形AECD为平行四边形；
（2）根据平行线的性质，易得∠EAC=∠DCA，又由已知，由等量代换即可证得∠EAC=∠ECA，根据等角对等边，即可得AE=CE，则四边形AECD为菱形．

证明：(1)∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠DCB,
∵AE=DC，
∴AE=AB,
∴∠B=∠AEB,
∴∠DCB=∠AEB,
∴AE∥DC,
∴四边形AECD为平行四边形;
(2)∵AE∥DC，
∴∠EAC=∠DCA,
∵∠B=2∠DCA，∠B=∠DCB，
∴∠DCB=2∠DCA,
∴∠ECA=∠DCA,
∴∠EAC=∠ECA,
∴AE=CE,
∵四边形AECD为平行四边形，
∴四边形AECD为菱形.