Question

1．已知抛物线y=x²+2bx+c．
（1）若b=c=1，求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若b+c=-1，说明存在两个实数，使得相应的y=1：
（3）若c=2+b，抛物线在-1≤x≤2区间上的最小值是-3，求b的值．

Answer 1

分析 （1）把b=c=1代入函数解析式，然后令y=0即可求解；
（2）令y=1，判断所得方程的判别式大于0即可求解；
（3）求得函数的对称轴是x=-b，然后分成-b≤-1，-1＜-b＜2和-b≥2三种情况进行讨论，然后根据最小值是-3，即可解方程求解．

解答 解：（1）当b=c=1时函数的解析式是y=x²+2x+1，令y=0，则x=-1．
则抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0）；
（2）当y=1时，x2+2bx+c=1，
则x²+2bx+c-1=0，
则△=4b²-4（c-1）=4b²-4c+4，
∵b+c=-1，则c=-b-1，
则△=4b²+4（b+1）+4=4b²+4b+8=4（b+1）²+4，
∵（b+1）²≥0，
∴△＞0．
则存在两个实数，使得相应的y=1；
（3）抛物线的对称轴是x=-b．
当-b≤-1，即b≥1时，1-2b+c=-3，又∵c=2+b，解得：b=6；
当-1＜-b＜2时，即-2＜b＜1，$\frac{4c-4{b}^{2}}{4}$=-3，即c-b²=-3，把c=2+b代入得2+b-b²=-3，解得：b=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$（舍去）．
当-b≥2，即b≤-2时，4+4b+c=-3，又∵c=2+b，解得：b=-$\frac{9}{5}$．
总之，b=6或$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$或-$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点以及函数的最值，注意讨论对称轴的位置是本题的关键．