Question

13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=$\frac{4}{5}$．
（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式．
（2）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当△PAE的面积最大时，求点P的坐标．
（3）若过点F（-6，0）的直线L上有一动点M，当以A，D，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OC．OD．OA的长，进而确定A．C．D三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）该题的关键点是确定点P的位置，△APE的面积最大，那么S_△APE=$\frac{1}{2}$×AE×h中h的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点．
（3）先待定过点F的直线，再求出解析式，根据直角三角形的勾股定理列方程，根据有且只有3个直角三角形得出△=0，求解即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=$\frac{4}{5}$；
Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD-OD=2，即：
A（-2，0）、B（-5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-3），得：
2×（-3）a=4，a=-$\frac{2}{3}$；
∴抛物线：y=-$\frac{2}{3}$ x²+$\frac{2}{3}$ x+4．
（2）如图1，设直线AB：y₁=kx+b，
把A（-2，0）、B（-5，4）坐标代入得
$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{4=-5k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴AB：y₁=-$\frac{4}{3}$ x-$\frac{8}{3}$；
∵S_△APE=$\frac{1}{2}$AE•h，
∴当P到直线AB的距离最远时，S_△ABC最大；
若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；
设直线L：y=-$\frac{4}{3}$ x+m，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，
-$\frac{4}{3}$x+m=-x²+x+4，且△=0；
求得：m=$\frac{11}{2}$，即直线L：y=-$\frac{4}{3}$ x+$\frac{11}{2}$；
解-$\frac{4}{3}$x+$\frac{11}{2}$=-x²+x+4得：x=$\frac{3}{2}$，
y=-$\frac{4}{3}$ x+$\frac{11}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴点P（ $\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$）．

（3）
设过点F的直线解析式为：y=cx+d，
把点F（-6.0）代入得：
0=-6c+d，
d=6c，
∴y=cx+6c，
当∠AED=90°时，设点M（x，cx+6c）
可求AM²=（x+2）²+（cx+6c）²，
DM²=（x-3）²+（cx+6c）²
AD=3-（-2）=5，
根据题意
AM²+DM²=AD²，
∴（x+2）²+（cx+6c）²+（x-3）²+（cx+6c）²=5²，
整理得：（c²+1）x²+（12c²-1）x+36c²-8=0，
由题意知：△=0，
解得：c=±$\sqrt{\frac{33}{136}}$，
所以满足条件的直线为：y=$\sqrt{\frac{33}{136}}$x+6$\sqrt{\frac{33}{136}}$，或y=-$\sqrt{\frac{33}{136}}$x-6$\sqrt{\frac{33}{136}}$，
把c=±$\sqrt{\frac{33}{136}}$代入：：（c²+1）x²+（12c²-1）x+36c²-8=0，解得：x=-$\frac{10}{13}$，
此时y=±$\frac{68}{13}$$\sqrt{\frac{33}{136}}$
此时满足条件的点：M₅（-$\frac{10}{13}$，$\frac{68}{13}$$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₂（-$\frac{10}{13}$，-$\frac{68}{13}$$\sqrt{\frac{33}{136}}$）
当x=-2时，y=±4$\sqrt{\frac{33}{136}}$，当x=3时，y=±9$\sqrt{\frac{33}{136}}$，
所以点M₁（-2，-4$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₄（-2，4$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₆（3，9$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₃（3，-9$\sqrt{\frac{33}{136}}$），
综上所述当直线为：y=$\sqrt{\frac{33}{136}}$x+6$\sqrt{\frac{33}{136}}$时，有：M₅（-$\frac{10}{13}$，$\frac{68}{13}$$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₄（-2，4$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₆（3，-9$\sqrt{\frac{33}{136}}$）．
当直线为：y=-$\sqrt{\frac{33}{136}}$x-6$\sqrt{\frac{33}{136}}$时，有：M₁（-2，-4$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₂（-$\frac{10}{13}$，-$\frac{68}{13}$$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₃（3，-9$\sqrt{\frac{33}{136}}$）．

点评 此题主要考察菱形性质在坐标系中的应用，三角形面积的最大问题，和点的存在性问题，难度很大，熟练掌握相关性质，并注意分类讨论思想是解题的关键．