Question

1．如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于C，tan∠CAB=3；双曲线$y=\frac{k}{x}$（k≠0）经过抛物线y=ax²+bx+3的顶点，点D的横坐标为1．
（1）求抛物线和双曲线的解析式．
（2）点P为抛物线上一动点，且在第一象限，连接BP、CP，求当四边形ABPC取得最大值时，点P的坐标，并求出这个最大值．
（3）若在此抛物线和双曲线上存在点Q，使得QB=QC，请求出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的解析式可求得C（0，3），由锐角三角函数的定义可知OA=1从而得到A（-1，0）由抛物线的对称性可得到B（3，0），从而可求得抛物线的解析式，然后可求得点D的坐标，故此可求得反比例函数的解析式；
（2）连接BC，过点P作PE⊥AB，交BC于点E．先求得直线BC的解析式为y=-x+3．设点P的坐标为（x，-x²+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+3）．故此PE=-x²+3x，故此可求得S_{四边形ABPC}=$-\frac{3}{2}（x-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{75}{8}$，于是可求得点P的坐标和四边形面积的最大值；
（3）过点O作OE⊥BC，垂足为E．由等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可知点Q在OE上，然后先求得直线OE的解析式为y=x，然后求得y=x与抛物线和双曲线的交点坐标即可．

解答 解：（1）∵令x=0得：y=3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∴OC=3．
∵tan∠CAB=3，
∴$\frac{OC}{OA}=3$，即$\frac{3}{OA}=3$．
∴OA=1．
∴点A的坐标为（-1，0）．
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点B的坐标为（3，0）．
将A（-1，0），B（3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
将x=1代入得：y=-1+2+3=4．
∴点D的坐标为（1，4）．
将（1，4）代入反比例函数的解析式得：4=$\frac{k}{1}$，解得：=4．
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$．
（2）如图1所示：连接BC，过点P作PE⊥AB，交BC于点E．

∵AB=4，OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•OC$=$\frac{1}{2}×4×3$=6．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将（3，0）、（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
设点P的坐标为（x，-x²+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+3）．
∴PE=-x²+3x．
∴${S}_{△PBC}=\frac{1}{2}PE•OB$=$\frac{1}{2}×3×（-{x}^{2}+3x）$=-$\frac{3}{2}{x}^{2}+\frac{9}{2}x$．
∴S_{四边形ABPC}=$-\frac{3}{2}{x}^{2}+\frac{9}{2}x+6$=$-\frac{3}{2}（x-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{75}{8}$．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，四边形ABPC的面积最大，最大值为$\frac{75}{8}$．
将x=$\frac{3}{2}$代入抛物线的解析式得：y=$\frac{15}{4}$．
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
（3）如图2所示：连接BC，过点O作OE⊥BC，垂足为E．

∵QB=QC，
∴点Q在BC的垂直平分线上．
∵OE⊥BC，OB=OC，
∴EC=BE．
∴OE是BC的垂直平分线．
∴点Q在BC上．
∵OE⊥BC，
∴直线OE的解析式为y=x．
将y=x与y=$\frac{4}{x}$联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴点Q的坐标为（2，2）或（-2，-2）．
将y=x与y=-x²+2x+3联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\\{y=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$．
∴点Q的坐标为（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．
综上所述，点Q的坐标为（2，2）或（-2，-2）或（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式、配方法求二次函数的最值，线段垂直平分线的性质，解方程组，根据二次函数和直线BC的解析式求得PE的长是解题的关键．