Question

10．如图，在⊙O中，AB为直径，点B为$\widehat{CD}$的中点，直径AB交弦CD于E，CD=2$\sqrt{5}$，AE=5．
（1）求⊙O半径r的值；
（2）点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD=∠DOB时，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）先根据垂径定理得出E为CD的中点，再由勾股定理即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数的定义求出EF的长，再分点F在线段CD的上方与下方两种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）∵AB为直径，点B为$\widehat{CD}$的中点，CD=2$\sqrt{5}$，
∴AB⊥CD，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{5}$．
在Rt△ODE中，
∵OD=r，OE=5-r，DE=$\sqrt{5}$，
∴r²=（5-r）²+（$\sqrt{5}$）²，解得r=3；

（2）∵由（1）知，OE=AE-AO=5-3=2，
∴tan∠FCE=tan∠DOB=$\frac{DE}{OE}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
在Rt△FCE中，
∵$\frac{EF}{CE}$=$\frac{EF}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴EF=$\frac{5}{2}$，
∴当点F在线段CD的上方时，AF=AE-EF=5-$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$；
当点F在线段CD的下方时，AF=AE+EF=5+$\frac{5}{2}$=$\frac{15}{2}$＞AB，不合题意．
综上所述，AF=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查的是垂径定理，熟知垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．