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    8．如图，平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y=$\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$，与x轴、y轴分别交于点B、D．直线AC与x轴、y轴分别交于点C、E，$\frac{OE}{OC}=\frac{5}{12}，CE=\frac{169}{12}$．
    （1）若OG⊥CE于G，求OG的长度；
    （2）求四边形ABOE的面积；
    （3）已知点F（5，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O、Q、P为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）求出直线CE解析式，得到线段OE、OC、CE长度，利用面积法求出线段OG．
    （2）利用分割法，将四边形分割成一个三角形和一个梯形，求出面积即可．
    （3）通过观察可以发现Q点与点G重合，通过直线求出点P坐标即可．

    解答 解：（1）∵$\frac{OE}{OC}=\frac{5}{12}，CE=\frac{169}{12}$，
    设OE=5x，OC=12x，
    ∴（5x）2+（12x）2=（$\frac{169}{12}$）2，
    解得x=$\frac{13}{12}$，
    ∴OE=$\frac{65}{12}$，OC=$\frac{156}{12}$，
    ∵OG⊥CE于G，
    $\frac{1}{2}$×$\frac{65}{12}$×$\frac{156}{12}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{169}{12}$×OG，
    解得：OG=$\frac{60}{12}$=5．
    ∴OG的长度为5．

    （2）∵$\frac{OE}{OC}$=$\frac{5}{12}$，
    设直线CE解析式为：y=-$\frac{5}{12}$x+b，
    ∵OE=$\frac{65}{12}$，
    ∴直线CE解析式为：y=-$\frac{5}{12}$x+$\frac{65}{12}$，
    联系方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}}\\{y=-\frac{5}{12}x+\frac{65}{12}}\end{array}\right.$，
    解得：x=-$\frac{35}{21}$，y=$\frac{55}{9}$，
    ∴A（-$\frac{35}{21}$，$\frac{55}{9}$）．
    如图，过点A做AH⊥x轴，

    ∵直线AB的解析式为y=$\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$，与x轴、y轴分别交于点B、D，
    ∴B（-$\frac{25}{4}$，0），
    ∴S四边形ABOE=S△ABH+S梯形ABOE
    =$\frac{1}{2}$（$\frac{25}{4}$-$\frac{35}{21}$）×$\frac{55}{9}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{55}{9}$+$\frac{65}{12}$）×$\frac{35}{21}$
    =$\frac{118}{5}$．
    答：四边形ABOE的面积为$\frac{118}{5}$．

    （3）存在．
    当点Q在AC上时，OG=OF=5，
    ∵点Q即为点G，
    ∴△OPQ≌△OPG，
    ∵F（5，0），直线CE解析式为：y=-$\frac{5}{12}$x+$\frac{65}{12}$，
    ∴P（5，$\frac{10}{3}$）．
    作OQ⊥AB，Q为垂足，连接QF，作QF的垂直平分线交AC于P．
    此时△OPQ≌△OPF，解得P（$\frac{65}{41}$，$\frac{195}{41}$）．
    综上所述，P（5，$\frac{10}{3}$）或P（$\frac{65}{41}$，$\frac{195}{41}$）．

    点评 题目考查了一次函数综合应用，同时题目对面积求解、全等三角形进行考查，题目运算较难，需要注意运算的正确性．

    练习册系列答案
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    15．化简
    （1）5+2（3-y）
    （2）3（x2-2）-2（1-3x2）

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    16．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是边长为5的菱形，点C在x轴的正半轴上，直线AC：$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
    （1）直接写出A、B、C三点坐标；
    （2）如图1，动点P从点A出发，沿折线A-B-C方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，动点Q同时从点C出发，沿线段AC方向以$\sqrt{5}$个单位/秒的速度向终点A匀速运动，P、Q两点中任意一点到达终点，另一个点随之而停止．设△PQB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
    （3）连接BM，如图2，动点P同样从点A出发，沿折线A-B-C方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，若tan∠MPB=$\frac{3}{4}$，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    13．如图，已知AD是△ABC的外接圆的直径，O为圆心，AD=10cm，sinB=$\frac{4}{5}$，则AC的长8．

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    3．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α．
    （1）当α=60°，且点D在AC上，连BD、AE，相交于点G，如图①，求∠BGA．
    （2）若0°＜α＜90°，如图②，求∠BGC．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=$\frac{4}{5}$．
    （1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式．
    （2）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当△PAE的面积最大时，求点P的坐标．
    （3）若过点F（-6，0）的直线L上有一动点M，当以A，D，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，请直接写出点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    20．在数轴上表示a，b两个实数的点的位置如图所示，则化简|a+b|-|a-b|的结果为（　　）
    A．2aB．2bC．2a-2bD．-2b

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    17．用指定的方法解下列方程组：
    （1）$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y=19}\\{x-y=4}\end{array}\right.$（代入法）
    （2）$\left\{\begin{array}{l}{8y+5x=2}\\{4y-3x=-10}\end{array}\right.$（加减法）
    （3）$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=9}\\{3x-2y=-1}\end{array}\right.$ 
    （4）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=3}\\{3x-2（y-1）=11}\end{array}\right.$．

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    18．探究规律，完成相关题目．
    定义“⊕（环加）”运算：（+3）⊕（+5）=+8；（-4）⊕（-7）=+11；
    （-2）⊕（+4）=-6；（+5）⊕（-7）=-12；
    0⊕（-5）=（-5）⊕0=+5；（+3）⊕0=0⊕（+3）=+3．
    （1）归纳⊕运算的法则：两数进行⊕运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行⊕运算，或任何数和0进行⊕运算，都得这个数的绝对值．
    （2）计算：（+1）⊕[0⊕（-2）]=+3．
    （3）是否存在有理数a，b，使得a⊕b=0，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．

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