Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且HE=CE．
求证：AH=2BD．

Answer 1

证明：∵AB=AC，AD是高，
∴BC=2BD．
∵AD、BE是高，
∴∠ADC=90°，∠AEH=∠BEC=90°．
∴∠HAE+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°．
∴∠HAE=∠CBE．
在△AHE和△BCE中，
∠HAE=∠CBE，∠AEH=∠BEC，HE=CE，
∴△AHE≌△BCE（AAS）．
∴AH=BC．
又∵BC=2BD，
∴AH=2BD．
分析：我们发现，BC=2BD因此只要证明AH=BC就可以了，那么关键就是证明三角形AHE和BCE全等来得出结论．已知的条件有：EC=EH，一组直角，只要再证得一组对应角相等即可得出结论，我们不难发现∠EAH和∠EBC都是∠C的余角，因此这两个角就相等，那么就凑齐了两三角形全等的所有条件，两三角形就全等了．由此可得出AH=BC=2BD．
点评：本题综合考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，通过三角形的全等来得出简单的线段相等是解题的关键．