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    16．将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是A′D，∠CAC′=90°．

    问题探究
    如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
    拓展延伸
    如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

    分析 根据旋转变换的性质求出与BC相等的线段、∠CAC′的度数；
    根据全等三角形的判定定理和性质定理证明△APE≌△BGA，得到EP=AG，同理证明FQ=AG，得到答案；
    作EP⊥GA交GA的延长线于P，作FQ⊥GA交GA的延长线于Q，证明△APE∽△BGA和△AQF∽△CGA即可．

    解答 解：如图2，由旋转的性质可知，△ABC≌△A′C′D，
    ∴BC=A′D，∠ACB=∠C′AD，又∠ACB+∠CAB=90°，
    ∴∠C′AD+∠CAB=90°，即∠CAC′=90°，
    故答案为：A′D；=90°；
    问题探究，EP=FQ，
    证明：∵△ABE是等腰直角三角形，
    ∴∠EAB=90°，即∠EAP+∠BAG=90°，又∠ABG+∠BAG=90°，
    ∴∠EAP=∠ABG，
    在△APE和△BGA中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠ABG}\\{∠APE=∠BGA}\\{EA=BA}\end{array}\right.$，
    ∴△APE≌△BGA，
    ∴EP=AG，
    同理，FQ=AG，
    ∴EP=FQ；
    拓展延伸，HE=HF，
    证明：作EP⊥GA交GA的延长线于P，作FQ⊥GA交GA的延长线于Q，
    ∵四边形ABME是矩形，
    ∴∠EAB=90°，即∠EAP+∠BAG=90°，又∠ABG+∠BAG=90°，
    ∴∠EAP=∠ABG，又∠APE=∠BGA=90°，
    ∴△APE∽△BGA，
    ∴$\frac{EP}{AG}$=$\frac{EA}{AB}$=$\frac{1}{k}$，即AG=kEP，
    同理△AQF∽△CGA，
    ∴$\frac{AG}{FQ}$=$\frac{AC}{AF}$=k，即AG=kFQ，
    ∴EP=FQ，
    ∵EP⊥GA，FQ⊥GA，
    ∴EP∥FQ，又EP=FQ，
    ∴HE=HF．

    点评 本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的定理是解题的关键，注意旋转变换中对应边、对应角的确定．

    练习册系列答案
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