Question

3．如图1，PQ为⊙O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=$\frac{1}{2}$，动点A在⊙O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）当线段AB所在的直线与⊙O相切时，则AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）如图2，设∠AOB=α，当线段AB与⊙O只有一个公共点（即A点）时，则α的取值范围是0°≤α≤60°；
（3）如图3，当线段AB与⊙O有两个公共点A、M时，连接MQ，如果AO⊥PM于点D，求CM的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OA，如下图1，根据条件可求出AB．
（2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB所在的直线与圆O相切时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α的范围．
（3）连接MQ，如下图3，易证AO∥MQ，从而得到△PNO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、ON，进而求出PN、NM、AM、CM的值．

解答 解：（1）如图1，连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．
∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB．
∴∠OAB=90°．
∵OQ=QB=$\frac{1}{2}$，
∴OA=$\frac{1}{2}$，OB=OQ+QB=1．
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（2）①当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；
②当线段A₁B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，
线段A₁B与圆O只有一个公共点，
此时OA₁⊥BA₁，OA₁=$\frac{1}{2}$，OB=1，
∴cos∠A₁OB=$\frac{{A}_{1}O}{OB}$=$\frac{1}{2}$．
∴∠A₁OB=60°．
∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，α的范围为：0°≤α≤60°．
故答案为：0°≤α≤60°．

（3）连接MQ，如图3所示．
∵PQ是⊙O的直径，
∴∠PMQ=90°．
∵OA⊥PM，
∴∠PNO=90°．
∴∠PNO=∠PMQ．
∴ON∥MQ．
∴△PNO∽△PMQ．
∴$\frac{PN}{PM}=\frac{ON}{MQ}=\frac{PO}{PQ}$，
∵PO=OQ=$\frac{1}{2}$PQ．
∴PN=$\frac{1}{2}$PM，ON=$\frac{1}{2}$MQ．
同理：MQ=$\frac{1}{2}$AO，BM=$\frac{1}{2}$AB．
∵AO=$\frac{1}{2}$，
∴MQ=$\frac{1}{4}$．
∴ON=$\frac{1}{8}$．
∵∠PNO=90°，PO=$\frac{1}{2}$，ON=$\frac{1}{8}$，
∴PN=$\sqrt{O{P}^{2}-O{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
∴PM=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴NM=PN=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
∵∠ANM=90°，AN=A0-ON=$\frac{3}{8}$，
∴AM=$\sqrt{A{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．
∵BM=$\frac{1}{2}$AB，
∴AM=BM．
∴CM⊥AB．
∵AM=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴BM=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，AB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴AC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
∴CM的长度为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题属于圆的综合题．考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、切线的性质、勾股定理以及特殊三角函数值等知识．注意准确作出辅助线，利用临界值法求角的取值范围是解此题的关键．