Question

6．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，4）和B（-2，0），连结AB．现将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AO₁B₁，

（1）直接写出点B₁、O₁的坐标，并求经过B、A、O₁三点的抛物线对应的函数关系式；
（2）在上述抛物线对称轴上找一点P使△ABP周长最小，求点P的坐标；
（3）在上述抛物线对称轴上是否存在点Q使△ABQ为等腰三角形？若存在求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得∠OAO₁=90°，∠AO₁B₁=∠AOB=90°，AO₁=AO=4，O₁B₁=OB=2，则根据第一象限点的坐标特征可得O₁（4，4），B₁（4，2），然后利用待定系数法求过B、A、O₁三点的抛物线对应的函数关系式；
（2）先通过解方程-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4=0得到抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（6，0），利用对称性可得到抛物线的对称轴为直线x=2，连结AC，如图1，AC交直线x=2于点P，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB最小，则此时△ABP周长最小，根据待定系数求直线AC的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+4，然后计算x=2时的函数即可得到P点坐标为（2，$\frac{8}{3}$）；
（3）如图2，设Q点坐标为（2，t），利用两点间的距离公式得到则AB²=20，AQ²=4+（4-t）²，BQ²=16+t²，然后分类讨论：当AQ=AB时，4+（4-t）²=16；当BQ=BA时，16+t²=20；当QA=QB时，4+（4-t）²=16+t²，再分别解关于t的方程求出t的值，即可得到满足条件的Q点坐标．

解答 解：（1）∵点A、B的坐标分别为A（0，4）和B（-2，0），
∴OA=4，OB=2，
∵△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AO₁B₁，
∴∠OAO₁=90°，∠AO₁B₁=∠AOB=90°，AO₁=AO=4，O₁B₁=OB=2，
∴O₁点的坐标为（4，4），B₁（4，2），
设过B、A、O₁三点的抛物线对应的函数关系式为y=ax²+bx+c，
把A（0，4），B（-2，0），O₁（4，4）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴过B、A、O₁三点的抛物线对应的函数关系式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4；
（2）当y=0时，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4=0，解得x₁=-2，x₂=6，则抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（6，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
连结AC，如图1，AC交直线x=2于点P，
∵PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC=AC，
此时PA+PB最小，则此时△ABP周长最小，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（0，4），C（6，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{6m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2}{3}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+4，
当x=2时，y=-$\frac{2}{3}$x+4=$\frac{8}{3}$，
∴此时P点坐标为（2，$\frac{8}{3}$）；
（3）存在．
如图2，设Q点坐标为（2，t），则AB²=2²+4²=20，AQ²=2²+（t-4）²=4+（4-t）²，BQ²=（2+2）²+t²=16+t²，
当AQ=AB时，4+（4-t）²=16，解得t₁=0，t₂=8（此时B、A、Q共线，舍去），则Q点坐标为（2，0）；
当BQ=BA时，16+t²=20，解得t₁=2，t₂=-2，则Q点坐标为（2，2），（2，-2）；
当QA=QB时，4+（4-t）²=16+t²，解得t=$\frac{1}{2}$，则Q点坐标为（2，$\frac{1}{2}$），
综上所述，满足条件的Q点坐标为（2，0）、（2，2）、（2，-2）、（2，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了抛物线的综合题：熟练掌握旋转的性质；会利用待定系数法求抛物线的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；运用分类讨论的思想和等腰三角形的判定方法解决（3）小题．