Question

6．如图，正比例函数y=kx（k＞0）的图象与反比例函数y₁=$\frac{1}{x}$，y₂=$\frac{2}{x}$，…，y₂₀₁₄=$\frac{2014}{x}$的图象在第一象限内分别交于点A₁，A₂，…A₂₀₁₄．点B₁，B₂，…，B₂₀₁₃分别在反比例函数y₁=$\frac{1}{x}$，y₂=$\frac{2}{x}$，…，y₂₀₁₃=$\frac{2013}{x}$的图象上，且A₂B₁，A₃B₂，…，A₂₀₁₄B₂₀₁₃分别与y轴平行，连接OB₁，OB₂，…，OB₂₀₁₃，则△OA₂B₁，△OA₃B₂，…，△OA₂₀₁₄B₂₀₁₃的面积之和为（　　）

• A． 1007
• B． $\frac{2013}{2}$
• C． 1006
• D． $\frac{2011}{2}$

Answer 1

分析 根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义，求得${S}_{△{{OA}_{2}B}_{1}}$=${S}_{{△A}_{2}OC}$-${S}_{△{OB}_{1}C}$=$\frac{1}{2}$×（2-1）=$\frac{1}{2}$，${S}_{△{{OA}_{3}B}_{2}}$=${S}_{{△A}_{3}OD}$-${S}_{{△B}_{2}OD}$=$\frac{1}{2}$×（3-2）=$\frac{1}{2}$，…${S}_{{{△OA}_{2014}B}_{2013}}$=$\frac{1}{2}$，得到△OA₂B₁，△OA₃B₂，…，△OA₂₀₁₄B₂₀₁₃的面积之和=2013×$\frac{1}{2}$=$\frac{2013}{2}$．

解答 解：延长A₂B₁，A₃B₂，A₄B₃分别于x轴交于C，D，E，
∵A₂B₁，A₃B₂，…，A₂₀₁₄B₂₀₁₃分别与y轴平行，
∴${S}_{△{{OA}_{2}B}_{1}}$=${S}_{{△A}_{2}OC}$-${S}_{△{OB}_{1}C}$=$\frac{1}{2}$×（2-1）=$\frac{1}{2}$，
${S}_{△{{OA}_{3}B}_{2}}$=${S}_{{△A}_{3}OD}$-${S}_{{△B}_{2}OD}$=$\frac{1}{2}$×（3-2）=$\frac{1}{2}$，
…
${S}_{{{△OA}_{2014}B}_{2013}}$=$\frac{1}{2}$，
∴△OA₂B₁，△OA₃B₂，…，△OA₂₀₁₄B₂₀₁₃的面积之和=2013×$\frac{1}{2}$=$\frac{2013}{2}$．
故答案为：$\frac{2013}{2}$．

点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．