Question

【题目】问题情境：如图1，AB∥CD，∠A=30°，∠C=40°，求∠AEC的度数.小明的思路是：

（1）初步尝试：按小明的思路，求得∠AEC的度数；

（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，问∠A、∠E、∠F和∠D之间有何数量关系?请说明理由；

（3）应用拓展：如图3，AB∥CD，点E、F为AB、CD内部两点，如果∠E+∠EFG=160°，请直接写出∠B与∠D之问的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）70° （2）答案见解析 （3）∠B+∠D=160°

【解析】

（1）添加辅助线，转化基本图形，过E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，再证明∠AEC=∠A+∠C，继而可解答问题；

（2）添加辅助线，转化两直线平行的基本图形，过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB ，利用平行线的性质可证AB∥ME∥FN∥CD， 再根据两直线平行，内错角相等，可证得∠A =∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，然后将三式相加，可证得结论；

（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB ，结合已知可证得AB∥CD∥FM∥EH，利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，可证∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，再将三个等式相加，整理可得到∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD，然后由∠BEF+∠EFG=160° ，可推出∠BEF-∠EFD=-20°，整体代入求出∠B+∠D的值.

（1）如图，过E作EM∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD，

∴∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，

∴∠AEC=∠A+∠C=70°；

（2）∠A+∠EFD =∠AEF+∠D

理由如下：过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB

∵AB∥CD，∴AB∥ME∥FN∥CD，

∴∠A =∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，

∴∠A+∠EFD =∠AEF+∠D；

（3）过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB ，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥FM∥EH，

∴∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，

∴∠B+∠EFM+∠MFD+∠D=180°+∠BEH+∠HEF，

∴∠B+∠D+∠EFD=180°+∠BEF，

∴∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD。

∵ ∠BEF+∠EFG=160° ，

∴∠BEF+180°-∠EFD=160°，

∴∠BEF-∠EFD=-20°，

∴∠B+∠D=180°-20°=160°.