Question

20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE⊥AB，且BE=AE．求证：DC=2BD．

Answer 1

分析 连结AD．在△ABC中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理求出∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=30°．由DE是AB的垂直平分线得出AD=BD，那么∠BAD=∠B=30°，那么∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°．然后在Rt△ADC中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出DC=2AD，等量代换即可得到DC=2BD．

解答 证明：连结AD．
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=30°．
∵DE⊥AB，BE=AE，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°．
∵在Rt△ADC中，∠DAC=90°，∠C=30°，
∴DC=2AD，
∴DC=2BD．

点评 本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，难度适中，熟记性质是解题的关键．