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    如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边A0与AB重合，得到△ABD．

     (1)求点B的坐标；

    (2)当点P运动到点(，0)时，求此时点D的坐标；

    (3)在点P运动的过程中是否存在某个位置，使△OPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

     

     

    【答案】

    （1）(2，2)（2）(，)(3) P1 (，0)，P2(一，0，P3(-，0)，P4(，0)

    【解析】解：(1)点B的坐标是(2，2)                                    

     (2)如图D3—7，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．

    ∴BG=BD·cos60°=×=．DG=BD·sin60°=×=．

                                                        

    ∴OH=EG=, DH=．∴点D的坐标为(，)．

    (3)假设存在点P，在它的运动过程中，△OPD的面积等于．

    设点P的坐标为(t，0)，下面分三种情况讨论：

    ①t>0时，如图D3—8，BD=OP=t，DG=t，

    ∴DH=2+t．∵△OPD的面积等于，∴t(2+t)=，

    解得t1=,t2= (舍去)．

    ∴点P1的坐标为(，0)．                   

    ②当-<t≦0时，如图3-9，BD=OP=-t,BG=-t

    ∴DH=GF=2-(-t)=2+t

    ∵△OPD的面积等于．∴-t(2+t)= ，

    解得t1=-，t2=-．   

    ∴点P2的坐标为(一，0)，点P3的坐标为(-，0)    

    ③当t≤-时，如图D3-10,BD=0P=-t，DG=-t，

    ∴DH=-t-2．∵OPD的面积等于，∴t(2+t)=

    解得t1= (舍去)，t2=．

    ∴点P4的坐标为(，0)．                           

    综上所述，点P的坐标分别为P1 (，0)，P2(一，0，P3(-，0)，P4(，0)

     (1)过B作x轴的垂线，根据直角三角形的性质求出B点的坐标

    (2) 过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH，利用三角函数求出DG的长，通过OH=EG和DH的长，确定点D的坐标

    (3) 假设存在点P，在它的运动过程中，△OPD的面积等于．分三种情况进行讨论，分别求得点P的坐标

     

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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
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    ．

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    5
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    k
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