Question

1．如图，A（-4，0），B（0，4），C，D分别为OB，OA的中点，E，F分别为AC，DB上一点，CE=AC，BD=BF，连接EF．
（1）求直线EF的解析式；
（2）求证：EF⊥AC．

Answer 1

分析 （1）作EM⊥x轴于M，FG⊥y轴于G，根据平行线的性质和三角形全等的性质求出OM、EM、FG、BG的长，求出E、F的坐标，用待定系数法求出解析式；
（2）求出直线EF与x轴的交点，根据相似三角形的判定和性质证明结论．

解答 解：（1）作EM⊥x轴于M，FG⊥y轴于G，
∵A（-4，0），B（0，4），
∴OA=4，OB=4，
∵C，D分别为OB，OA的中点，
∴OD=2，OC=2，
由题意可知，EM∥OB，CE=AC，
∴EM=2OC=4，OM=OA=4，
∴点E的坐标（4，4），
∵FG∥OD，BD=BF，
∴FG=OD=2，BG=OB=4，
∴点F的坐标（2，8），
设EF的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=4}\\{2k+b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴EF的解析式为y=-2x+12．
（2）当y=0时，即=-2x+12=0，x=6，
∴点N的坐标为（-6，0），
则ON=6，
∵OA=4，OC=2，由勾股定理，AC=2$\sqrt{5}$，
$\frac{AC}{AN}$=$\frac{2\sqrt{5}}{10}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{OA}{AE}$=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{AC}{AN}$=$\frac{AO}{AE}$，∠A=∠A，
∴△AOC∽△AEN，
∴∠AOC=∠AEN=90°，
∴EF⊥AC．

点评 本题考查的是一次函数的综合应用，熟练运用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．