Question

9．等边三角形ABC中，点D、E分别在BC、AB上，连接AD、CE交于点F，作CG⊥AD于点G，AE=BD．
（1）如图1，当DC=2BD时，求证：F是AG的中点；
（2）如图2，过点A作AH⊥CE的延长线于H，连接HG并延长，交BC于点N，当HN⊥BC时，求证：AH=$\sqrt{2}$GN．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长AG到M，使得GM=FG，连接BG、BM、MC．首先证明△ABD≌△CAE，推出∠3=60°，推出△FCM是等边三角形，再证明△ACF≌△BCM，得AF=MB，再由∠BMG=∠3=60°，推出BM∥CF，得$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BM}{CF}$=$\frac{1}{2}$，由CF=FM，FG=GM，推出BM=FG，由此即可证明．
（2）如图2中，作AM⊥BC于M，连接GM．由∠AGC=∠AMC=90°，推出A、G、M、C四点共圆，由∠AHC=∠AGC=90°，推出A、H、G、C四点共圆，推出A、H、G、M、C五点共圆，推出AH=GM，再证明∠ACH=∠GCM=15°，推出△NGM是等腰直角三角形，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，延长AG到M，使得GM=FG，连接BG、BM、MC．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠CAE}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠2+∠CAF=∠1+∠CAF=60°，∠CFA=120°，
∵GF=GM，CG⊥FM，
∴CF=CM，
∴△CFM是等边三角形，
∴CF=CM，∠FMC=∠FCM=∠ACB=60°，
∴∠ACF=∠BCM，
在△ACF和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCM}\\{CF=CM}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCM，
∴AF=BM，∠BMC=∠AFC=120°，
∴∠BMG=∠3=60°，
∴BM∥CF，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BM}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∵CF=FM，FG=GM，
∴BM=GF，
∴AF=FG．

（2）证明：如图2中，作AM⊥BC于M，连接GM．

∵∠AGC=∠AMC=90°，
∴A、G、M、C四点共圆，
∵∠AHC=∠AGC=90°，
∴A、H、G、C四点共圆，
∴A、H、G、M、C五点共圆，
∵HN⊥BC，AM⊥BC，
∴HN∥AM，
∴∠HGA=∠GAM，
∴$\widehat{AH}$=$\widehat{GM}$，
∴AH=GM，∠ACH=∠GCM，
由（1）可知∠FCG=30°，∴∠ACH=∠GCM=15°，
∵∠MGC=∠MAC=30°，
∴∠GMN=∠MGC+∠MCG=45°，
∴△GNM是等腰直角三角形，
∴GM=$\sqrt{2}$GN，
∴AH=$\sqrt{2}$GN．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，题目比较难，属于竞赛题目．