Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①abc＞0；②方程x²+bx+c=0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④a-b+c＜0，
其中正确的个数（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧得到-

b

2a

＞0，则b＞0，由抛物线与x轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＜0，于是可对①进行判断；根据根与系数的关系得到方程x²+bx+c=0的两根之和等于-

b

a

，利用ab＜0可对②进行判断；根据二次函数的性质对③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（-1，0）之间，则x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，于是可对④进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=-

b

2a

＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与x轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵方程x²+bx+c=0的两根之和等于-

b

a

，
而ab＜0，
∴程x²+bx+c=0的两根之和大于0，所以②正确；
∵当x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
而对称轴在y轴的右侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（-1，0）之间，
∴x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，所以④正确．
故选C．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．