Question

10．已知：如图，⊙O的半径为2，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，且PA=2$\sqrt{3}$，则阴影部分的面积S=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

Answer 1

分析 连接OA，由PA为圆O的切线，根据切线性质得到OA与AP垂直，在直角三角形AOP中，由OA与AP的长，利用勾股定理求出OP的长，根据直角三角形中一直角边等于斜边的一半，得到此直角边所对的角为30°，推出角O为60°，然后分别利用三角形的面积公式及扇形的面积公式求出直角三角形AOP的面积与扇形OAB的面积，两者相减即可求出阴影部分的面积．

解答 解：连接OA，由PA切⊙O于A，得到OA⊥AP，
又PA=2$\sqrt{3}$，OA=2，△OAP为直角三角形，
根据勾股定理得：OP=4，
∴∠P=30°，∠O=60°，
S_阴影=S_△AOP-S_扇形OAB，
=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π，
故答案为：2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 此题考查了切线的性质，直角三角形的性质及阴影部分面积的求法．阴影部分面积的求法是：规则图形根据面积公式来求；不规则图形采用“割补凑正法”，即将不规则的图形通过割补拼凑成一个或几个规则的图形，从而求出阴影部分面积．遇到切线，往往连接圆心与切点，构造直角三角形来解题．