Question

5．如图，抛物线y=a（x-1）²+4与x轴交于A、B两点，抛物线与y轴交于C点，已知A（-1，0）．

（1）直线AN：y=x+1交抛物线于另一点N，求N点坐标；
（2）已知D（2，0），点P是第一象限内抛物线上的点，当∠PDC=2∠DCO时，求P点横坐标；
（3）如图2，将抛物线沿x轴正方向平移，平移后的抛物线交y轴于点F，与x轴的右交点为E点，G为AC的中点，延长GO交EF于点H，是否存在这样的拋物线，使得GH⊥EF？若存在，求出平移后的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先将点A的坐标代入抛物线解析式求出a的值，然后联立抛物线与直线AN的解析式，对方程组求解可得到点B的坐标；
（2）先过点D作平行于y轴的直线DN，过点P作PM⊥DN与M，设点P的横坐标为m，则纵坐标为-m²+2m+3，然后证明△COD∽△DMP，利用相似三角形的对应边相等的性质列式求解即可；
（3）先设抛物线沿x轴正方向平移n（n＞0）个单位，则抛物线的解析式为y=-（x-1-n）²+4，然后证明△AOC∽△FOE，利用相似三角形的对应边相等的性质列式求解即可．

解答 解：（1）将点A的坐标代入抛物线解析式，得a（-1-1）²+4=0，
解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x-1）²+4，
联立抛物线解析式与直线AN的解析式得$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-1）^{2}+4}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴点N的坐标为（2，3）；
（2）如图，过点D作平行于y轴的直线DN，过点P作PM⊥DN与M，
设点P的横坐标为m，则纵坐标为-（m-1）²+4=-m²+2m+3，
则PM=m-2，DM=-m²+2m+3，
∵DN∥y轴，
∴∠DCO=∠CDN，
又∵∠PDC=2∠DCO，
∴∠PDM=∠DCO，
又∵∠COD=∠DMP=90°，
∴△COD∽△DMP，
∴CO：OD=DM：MP，即3：2=（-m²+2m+3）：（m-2），
解得m₁=$\frac{1+\sqrt{97}}{4}$，m₂=$\frac{1-\sqrt{97}}{4}$（不合题意，舍去），
所以P点横坐标为$\frac{1+\sqrt{97}}{4}$；
（3）抛物线y=-（x-1）²+4与x轴的交点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C（3，0），
设抛物线沿x轴正方向平移n（n＞0）个单位，则抛物线的解析式为y=-（x-1-n）²+4，点E的坐标为（3+n，0），点F的坐标为（0，-（1+n）²+4），
∵点G为AC的中点，∠AOC=90°，
∴OG=CG，
∴∠ACO=∠GOC，
当GH⊥EF时，∠FOH+∠OFH=90°，
又∵∠GOC=∠FOH，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠EFO，
又∵∠AOC=∠FOE，
∴△AOC∽△FOE，
∴AO：OC=FO：OE，即1：3=[（1+n）²-4]：（3+n），
解得n=$\frac{4}{3}$或n=-3（不合题意，舍去），
∴平移后的抛物线的解析式为y=-（x-1-$\frac{4}{3}$）²+4=-（x-$\frac{7}{3}$）²+4．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，同时涉及了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，一次函数与二次函数的交点问题等知识，具有一定的综合性与难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的运用．