Question

17．点P是⊙O外一点，过点P作圆的两条切线PA、PB，点A、B是切点，Q是⊙O上任意一点，已知∠P=40°，则∠AQB=70°或110°．

Answer 1

分析 连结OA、OB，如图，根据切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和得到∠AOB=180°-∠P=140°，然后分类讨论：当点Q在优弧AB上，如图，根据圆周角定理可计算出∠AQB=$\frac{1}{2}$∠AOB=70°；当点Q弧AB上，如图，根据圆内接四边形的性质得∠AQ′B=180°-∠AQB=110°．

解答 解：连结OA、OB，如图，
∵PA和PB为⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，PB⊥OB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°-∠P=180°-40°=140°，
当点Q在优弧AB上，如图，∠AQB=$\frac{1}{2}$∠AOB=70°；
当点Q弧AB上，如图，∠AQ′B=180°-∠AQB=180°-70°=110°，
综上所述，∠AQB的度数为70°或110．
故答案为70°或110．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理．