如图.已知矩形OABC.点A.C分别在x.y轴上.抛物线y=ax2+bx+c经过A两点.且与y轴交于点C(0.8)．动点P从点D出发.以每秒1个单位的速度沿射线DB方向运动.设P运动的时间为t(秒).射线DB交抛物线于E．(1)求抛物线的解析式,(2)连结AP.是否存在这样的时刻t.使得∠PAB=∠ADB?若存在请求出t的值,若不存在.请说明理由．(3)连结CP和AE.若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如图，已知矩形OABC，点A，C分别在x，y轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过A（12，0），D（6，0）两点，且与y轴交于点C（0，8）．动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿射线DB方向运动，设P运动的时间为t（秒），射线DB交抛物线于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结AP，是否存在这样的时刻t，使得∠PAB=∠ADB？若存在请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）连结CP和AE，若∠PCB＜∠AED，求t的取值范围．

分析（1）将点A、D、C三点的坐标代入抛物线解析式，得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值即可；
（2）利用坐标与图形性质得出点B的坐标，AD与AB的长，进而利用勾股定理求出DB的长，然后证明△DPA∽△DAB，进而求出DP的长即可；
（3）先利用待定系数法求出DE所在直线的解析式，然后联立两个函数解析式求出DE的坐标，得出有关线段的长，然后分点P在线段BD上和点P在点B上方两种情况，利用相似三角形的判定与性质求出BP的长即可．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（12，0），D（6，0）两点，且与y轴交于点C（0，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=0}\\{144a+12b+c=0}\\{c=8}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{9}$，b=-2，c=8，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{9}{x}^{2}$-2x+8；

（2）∵A（12，0），D（6，0），C（0，8），四边形ABCD为矩形，
∴B（12，8），AD=6，AB=8，DB=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=10，
如图1，当∠PAB=∠ADB时，
∵∠PAB+∠DAP=90°，
∴∠ADB+∠DAP=90°，
∴∠DPA=90°，
∵∠DPA=∠DAB=90°，∠PDA=∠ADB，
∴△DPA∽△DAB，
∴DP：DA=DA：DB，即DP：6=6：10，
∴DP=3.6，
3.6÷1=3.6（秒），
∴当t=3.6秒时，使得∠PAB=∠ADB；
（3）设BE所在直线的解析式为y=kx+m，由BE过点B（12，8）和D（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{12k+m=8}\\{6k+m=0}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{4}{3}$，m=-8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{9}{x}^{2}-2x+8}\\{y=\frac{4}{3}x-8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=24}\\{y=24}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（24，24），
∵D（6，0），E（24，24），
∴DE=$\sqrt{（24-6）^{2}+（24-0）^{2}}$=30，
当点P在线段DB上，且∠PCB=∠AED时，如图2，
∵BC∥AD，
∴∠CBP=∠EDA，
∴△CBP∽△EDA，
∴CB：BP=ED：DA，即12：BP=30：6，
解得BP=2.4，
∴DP=BD-BP=7.6=$\frac{38}{5}$；
当点P在点B的上方，且∠PCB=∠AED时，
如图3，过点A作AF⊥BD于F，
由（1）知DF=3.6，则EF=DE-DF=26.4，AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=4.8，
过点P作PM⊥BC，交BC的延长线与M，
∵∠M=∠DAB=90°，∠PBM=∠CBD=∠BDA，
∴△PBM∽△BDA，
∴PM：BM=BA：DA=4：3，
设PM=4k，BM=3k，则BP=5k，
∵∠PCB=∠AED，∠M=∠EFA，
∴△PCM∽△AEF，
∴PM：CM=AF：EF，即4k：（12+3k）=4.8：26.4，
解得k=$\frac{12}{19}$，
∴BP=5k=$\frac{60}{19}$，DP=DB+BP=$\frac{250}{19}$，
∴若∠PCB＜∠AED，t的取值范围为$\frac{38}{5}$＜t＜$\frac{250}{19}$．

点评本题考查了二次函数的综合应用，同时涉及了一次函数解析式的求法，一次函数与二次函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识，具有一定的综合性和难度，解题时要数形结合思想的应用．

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