Question

17．双曲线y=$\frac{k}{x}$上三点A、B、C，三点的横坐标分别为-1、-6、$\frac{2}{3}$，且AB⊥AC，则实数k的值为2．-2．

Answer 1

分析 分别作AM∥y轴，CM⊥y轴，AM、CM相交于M，过B作BN⊥AM于N，分别表示出点A、B、C的纵坐标，表示出AN、BN、AM、CM的长度，然后利用三角形相似对应边成比例得出k²=4，然后即可求出k的值．

解答 解：∵双曲线y=$\frac{k}{x}$上三点A、B、C，三点的横坐标分别为-1、-6、$\frac{2}{3}$，
∴A（-1，-k），B（-6，-$\frac{k}{6}$），C（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$k），
作AM∥y轴，CM⊥y轴，AM、CM相交于M，过B作BN⊥AM于N，
∴AN=|k-$\frac{k}{6}$|=$\frac{5}{6}$|k|，BN=6-1=5，AM=|k|+|$\frac{3}{2}$k|=$\frac{5}{2}$|k|，CM=1+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∵AB⊥AC，
∴∠BAN+∠MAC=90°．
∵∠ABN+∠BAN=90°，
∴∠ABN=∠MAC，
∵∠ANB=∠CMA=90°，
∴△ANB∽△CMA，
∴$\frac{BN}{AM}$=$\frac{AN}{CM}$，即$\frac{5}{\frac{5}{2}|k|}$=$\frac{\frac{5}{6}|k|}{\frac{5}{3}}$，
∴k²=4，
∴k=±2．
故答案为2，-2．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的特征，主要是根据反比例函数的解析式表示出AN、BN、AM、CM的长度，进而根据三角形相似对应边成比例求出k的值，作出辅助线关键相似三角形是本题的关键．