Question

6．如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，△DEA绕点A旋转，边AD、AE与BC分别与AD、AE相交于点F、G，CB=5．回答下列问题．
（1）求证：△GAF∽△GBA；
（2）求证：AF²=FG•FC．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，由外角的性质得到∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，于是得到∠CFA=∠BAG，即可得到结论．
（2）方法同（1）证得△AGF∽△ACF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，
∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，
∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，
∴∠CFA=∠BAG，
∴△GAF∽△GBA；

（2）∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，
∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，
∵∠FGA=∠B+∠EAC，∠CAF=∠FAG+∠EAC，
∴∠AGF=∠CAF，
∴△AGF∽△ACF，
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{CF}{AF}$，
∴AF²=FG•FC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．