Question

11．如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．有下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S_△FGC=6．其中正确的结论是①②③．

Answer 1

分析 由正方形的性质和折叠的性质得出AB=AF，∠AFG=90°，由HL证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确；
设BG=FG=x，则CG=12-x．由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出GC，即可得出②正确；
由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，得出AG∥CF，即可得出③正确；
通过计算三角形的面积得出④错误；即可得出结果．

解答 解：①正确．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，
由折叠的性质得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=90°，AB=AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由如下：
由题意得：EF=DE=$\frac{1}{3}$CD=4，设BG=FG=x，则CG=12-x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（12-x）²+8²=（x+4）²，
解得：x=6，
∴BG=6，
∴GC=12-6=6，
∴BG=GC；
③正确．理由如下：
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
④错误；理由如下：
∵S_△GCE=$\frac{1}{2}$GC•CE=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，
∴S_△GFC：S_△FCE=3：2，
∴S_△GFC=$\frac{3}{5}$×24=$\frac{72}{5}$≠6．
故④不正确．
∴正确的个数有①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度．