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    17．猜想并探究：
    （1）已知矩形的长和宽分别是2和1，请探求以下两个问题：
    ①是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍？说明你的理由．
    ②是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的$\frac{1}{3}$？说明你的理由；
    （2）对于问题①，换一个角度，用函数（或函数图象）的方法来验证你的结论；
    （3）任意给定一个矩形，长和宽分别是m和n，当m和n满足什么条件，就一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的$\frac{1}{3}$倍？

    分析 （1）①设所求矩形的长和宽分别为x，y，利用新矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍，列出方程组求解即可；
    ②设所求矩形的长和宽分别为x，y，利用新矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的$\frac{1}{3}$倍，列出方程组求解，利用△判定无解；
    （2）设所求矩形的长和宽分别为x，y，表示出有关周长和面积的两个函数关系式，利用函数的图形判断是否存在这样的矩形即可；
    （3）设所求矩形的长和宽分别为x，y，将两个函数关系式联立后得到方程组，利用方程△≥0时，存在这样的矩形即可．

    解答 解：（1）①设所求矩形的长和宽分别为x，y，
    ∵已知矩形的长和宽分别是2和1，新矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{2（x+y）=3×2×（2+1）}\\{xy=3×2×1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{9+\sqrt{57}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{9-\sqrt{57}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{9-\sqrt{57}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{9+\sqrt{57}}{2}}\end{array}\right.$，
    ∴存在另一个矩形长为$\frac{9+\sqrt{57}}{2}$，宽为$\frac{9-\sqrt{57}}{2}$，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍；
    ②设所求矩形的长和宽分别为a，b，
    ∵已知矩形的长和宽分别是2和1，新矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的$\frac{1}{3}$倍，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{2（a+b）=\frac{1}{3}×2×（2+1）}\\{ab=\frac{1}{3}×2×1}\end{array}\right.$，化为a2-a+$\frac{2}{3}$=0，△=1-$\frac{8}{3}$＜0，可得方程无解，
    ∴不存在另一个矩形长使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的$\frac{1}{3}$倍；
    （2）设所求矩形的长和宽分别为x，y，
    ∵已知矩形的长和宽分别是2和1，新矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍，
    ∴2（x+y）=3×2×（2+1），xy=3×2×1
    ∴y=-x+9，y=$\frac{3}{x}$，
    如图，

    根据图象知：存在两个矩形，能使得新矩形是原矩形的周长与面积的3倍．
    （3）设所求矩形的长和宽分别为x，y，
    ∵已知矩形的长和宽分别是m和n，新矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的$\frac{1}{3}$倍，
    ∴2（x+y）=$\frac{1}{3}$×2×（m+n），xy=$\frac{1}{3}$×mn，两式联立可得x2-$\frac{1}{3}$（m+n）x+$\frac{1}{3}$mn=0，
    △=[$\frac{1}{3}$（m+n）]2-4×$\frac{1}{3}$mn≥0，即：m2+n2-10mn≥0，
    ∴当m2+n2-10mn≥0时，存在另一个矩形使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的$\frac{1}{3}$倍；

    点评 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．

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