Question

8．如图是二次函数y=（x+m）²+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4），抛物线与x轴的交点为A、B（点A在点B的左边）
（1）写出抛物线的解析式、开口方向、对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？并写求出这个最大（小）值；
（3）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；
（4）在二次函数的图象上是否存在点P，使S_△PAB=$\frac{5}{4}$S_△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点坐标可以得到抛物线解析式，结合解析式写出抛物线的开口方向和对称轴；
（2）结合抛物线图象回答问题；
（3）由条件可先求得二次函数的解析式，再令y=0可求得A、B两点的坐标；
（4）由条件可先求得P点的纵坐标，再代入解析式可求得P点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线解析式为y=（x+m）²+k的顶点为M（1，-4）
∴y=（x-1）2-4，抛物线对称轴是x=1．
∵a=1＞0，
∴抛物线开口方向向上．

（2）∵抛物线顶点坐标为M（1，-4），开口方向向上，
∴函数y有最小值，最小值是-4；

（3）∵抛物线解析式为y=（x-1）2-4，令y=0得（x-1）²-4=0解得x₁=3，x₂=-1
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）∵△PAB与△MAB同底，且S_△PAB=$\frac{5}{4}$S_△MAB，
∴|y_P|=$\frac{5}{4}$|y_M|=$\frac{5}{4}$×4-5，即y_P=±5
又∵点P在y=（x-1）²-4的图象上，y_P≥-4，
∴y_P=5，则（x-1）²-4=5，
解得x₁=4，x₂=-2
∴存在合适的点P，坐标为（4，5）或（-2，5）．

点评 本题主要考查二次函数综合题，其中需要掌握待定系数法求函数解析式及二次函数图象点点的坐标，掌握二次函数顶点式y=a（x-h）²+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．