Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿OC向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒．

（1）求线段BC的长；
（2）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：
（3）在（2）的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE′F′，使点E的对应点E′落在线段AB上，点F的对应点是F′，E′F′交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，?

Answer 1

（1）
（2） (0<t<3)
（3）当t="1" 时，

解：（1）∵△AOB为等边三角形，∴∠BAC=∠AOB=60⁰。
∵BC⊥AB ，∴∠ABC=90⁰。∴∠ACB=30⁰，∠OBC=30⁰。∴∠ACB=∠OBC。
∴CO=OB=AB=OA=3。∴AC=6。
∴BC=AC=。
（2）如图，过点Q作QN∥OB交x轴于点N，

∴∠QNA=∠BOA=60⁰=∠QAN。
∴△AQN为等边三角形。
∵BQ=t，∴NQ=NA=AQ=3－t。
∴。∴。
∵OE∥QN，∴△POE∽△PNQ。
∴，即。∴。
∵EF∥x轴，∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30⁰。∴EF=BE。
∴ (0<t<3)。
（3）如图，

∵，
∴∠AEG=60⁰=∠EAG。
∴GE′=GA ∴△AE′G为等边三角形。
∵。
∴。
∴∠l=∠2 ，∠3=∠4。
∵∠l+∠2+∠3+∠4=180⁰，∴∠2+∠3=90⁰，即∠QGA=90⁰。∴。
∵EF∥OC，∴，即。∴。
∵，∴。
又∵∠FCP=∠BCA，∴△FCP∽△BCA。
∴。解得。
∵，∴，解得t=1。
∴当t="1" 时，。
（1）由△AOB为等边三角形得∠ACB=∠OBC=30⁰，由此CO=OB=AB=OA=3，在Rt△ABC中，AC为6 ，从而BC=。
（2）过点Q作QN∥OB交x轴于点N，先证△AQN为等边三角形，从而 ，
，再由△POE∽△PNQ对应边成比例计算得再由EF=BE易得出m与t之间的函数关系式。
（3）先证△AE′G为等边三角形，再证∠QGA=90⁰，通过两边成比例夹角相等得△FCP∽△BCA 再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通过解方程求出。