Question

18．如图，直线m是矩形ABCD的一条对称轴，∠ADB=30°，点P是直线m上一点，且使得△PAB和△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线的性质可得△PAD为等腰三角形，△PAB为等腰三角形，有三种可能：AP=AB或BP=BA或PA=PB．若AP=AB，则点P在以点A为圆心，AB
为半径的圆与直线m的交点处；若BP=BA，则点P在以点B为圆心，BA为半径的圆与直线m的交点处；若PA=PB，则点P在AB的垂直平分线与直线m的交点处．
画出图象，就可解决问题．

解答 解：∵直线m是矩形ABCD的一条对称轴，点P是直线m上一点，
∴PA=PC，∠A=90°，
∴△PAD为等腰三角形．
∵∠ADB=30°，
∴∠ABD=60°．
∵△PAB为等腰三角形，
∴AP=AB或BP=BA或PA=PB．
如图所示，

由图可知：满足条件的点P共有3个．
故选C．

点评 本题主要考查了等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质等知识，需要注意的是等腰△PAB并没有指明哪个是腰，需分三种情况讨论，在数满足条件的点的个数时，要考虑有没有重合的现象．