【题目】如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,BE=2CE,连接DE,F为DE中点,以DF为直角边作等腰Rt△DFG,连接BG,将△DFG绕点D顺时针旋转得△DF′G′,G′恰好落在BG的延长线上,连接F′G,若BG=2 ,则S△GF′G′= .
【答案】
【解析】解:如图,作GM⊥BC于M,MG的延长线交AD于N,作DK⊥BG′于K,作KQ⊥DG′于Q,作F′H′BG′于H,BG′交AD于P.
∵BE=2EC,设EC=a,则BE=2a,BC=CD=MN=3a,
∵DG=GE,∠DGE=90°,易证△DGN≌△GEM,设EM=x,
则GN=EM=x,GM=DN=CM=a+x,
∴x+x+a=3a,
∴x=a,
∴BM=EM,∵GM⊥BE,
∴GB=GE=2 ,
∵GM=2a.EM=a,
在Rt△GEM中,可得5a2=20,
∵a>0,
∴a=2,
∴AB=BC=CD=AD=6,GM=4,CM=DN=4,AN=GN=2,DF=EF=GF=G′F′= ,DG=GE=DG′=2
,
∵△GBM∽△BPA,
∴ =
,
∴ =
,
∴AP=PD=3,
由△APB∽△KPD,可得DK= ,
∵DG′=DG,DK⊥GG′,
∴G′K=GK= =
,
设BG′交DF′于T,作TR⊥DG′于R,
∵tan∠TG′R= =
=
,设TR=3k,RG′=4k,
∵∠TDR=45°,
∴TR=DR=3k,
∴7k=2 ,
∴k= ,
∴TG′=5k= ,
由△′F′H∽△G′TF′,
可得G′H= ,
在Rt△G′F′H中,F′H= =
,
∴S△GG′F′= GG′F′H=
×
×
=
,
所以答案是 .
【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形和勾股定理的概念,需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=( )
A. 35° B. 45° C. 50° D. 55°
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【题目】如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60度.连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1 , 使∠D1AC=60°;连接AC1 , 再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2 , 使∠D2AC1=60°;…,按此规律所作的第n个菱形的边长为 .
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【题目】如图,已知直线.
这两直线之间一点.
(1)如图1,若与
的平分线相交于点
,若
,求
的度数.
(2)如图2,若与
的平分线相交于点
,
与
有何数量关系?并证明你的结论.
(3)如图3,若的平分线与
的平分线所在的直线相交于点
,请直接写出
与
之间的数量关系.
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【题目】有一数值转换器,原理如图所示,若开始输入x的值是7,可发现第1次输出的结果是12,第2次输出的结果是6,第3次输出的结果是__________,依次继续下去……第2 016次输出的结果是___________.
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【题目】王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山,各栽100棵杨梅树,成活98%.现已挂果,经济效益初步显现,为了分析收成情况,他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅,每棵的产量如折线统计图所示.
(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数,并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和;
(2)试通过计算说明,哪个山上的杨梅产量较稳定?
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【题目】一个装有进水管和出水管的容器,从某时刻开始的4分钟内只进水不出水,在随后的8分钟内既进水又出水,接着关闭进水管直到容器内的水放完假设每分钟的进水量和出水量是两个常数,容器内的水量
(单位:升)与时间
(单位:分钟)之间的部分关系如图象所示
从开始进水到把水放完需要多少分钟.( )
A.20B.24C.18D.16
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【题目】如图,已知等腰Rt△ABC,∠ACB=90°,CA=CB,以BC为边向外作等边△CBA,连接AD,过点C作∠ACB的角平分线与AD交于点E,连接BE.
(1)若AE=2,求CE的长度;
(2)以AB为边向下作△AFB,∠AFB=60°,连接FE,求证:FA+FB= FE.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的弦,半径OA=2cm,∠AOB=120°
(1)求tan∠OAB的值;
(2)求图中阴影部分的面积S;
(3)在⊙O上一点P从A点出发,沿逆时针方向运动一周,回到点A,在点P的运动过程中,满足S△POA=S△AOB时,直接写出P点所经过的弧长(不考虑点P与点B重合的情形).
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