Question

如图，O为矩形ABCD对角线的交点，过O作EF⊥AC，分别交AD、BC于F、E，若AB=2cm，BC=4cm．
（1）求四边形AECF的面积；
（2）求EF的长．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）易证∠OAD=∠OCB，即可证明△AOF≌△COE，可得EO=FO，即可判定四边形AECF为菱形，AE=CE，根据在RT△ABE中，满足AB²+BE²=AE²，即可求得CE的长，即可解题；
（2）根据勾股定理可求得AC的长，再根据菱形面积计算公式即可求得EF的长，即可解题．

解答：解：（1）∵AF∥BC，
∴∠OAD=∠OCB，
∵O为矩形ABCD对角线的交点，
∴OA=OC，
在△AOF和△COE中，

∠OAD=∠OCB OA=OC ∠COE=∠AOF

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴EO=FO，
∵AO=CO，
∴四边形AECF为菱形，
∴AE=CE，
设BE=x，则AE=CE=4-x，
在RT△ABE中，2²+x²=（4-x）²，
解得：x=

3

2

cm，
∴CE=

5

2

cm，
∴四边形AECF的面积=CE•AB=5cm²；
（2）∵四边形AECF的面积=5cm²=

1

2

AC•EF，
∴EF=

10

AC

，
∵在RT△ABC中，AC²=AB²+BC²，
∴AC=2

5

cm，
∴EF=

10

AC

=

5

cm．

点评：本题考查了菱形的判定和菱形各边长相等的性质，考查了菱形的面积计算公式，本题中判定四边形AECF为菱形是解题的关键．