Question

16．如图，直线MN与⊙O相交于点A、B，CD是直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，求证：
（1）AE=BF；
（2）若OH为弦心距，则OH与线段CE、DF满足怎样的数量关系？并证明你所得到的结论．

Answer 1

分析 （1）作OH⊥MN于H，如图，由OH⊥MN，CE⊥MN，DF⊥MN，得到CE∥OH∥BF，易得OH为梯形EFDC的中位线，根据梯形的中位线性质得CH=DH，再根据垂径定理得到AH=BH，然后利用等量减等量差相等即可得到CE=DF．
（2）根据梯形的中位线的性质即可求得OH=$\frac{1}{2}$（CE+DF）．

解答 （1）证明：作OH⊥MN于H，如图，
∵OH⊥MN，CE⊥MN，DF⊥MN，
∴CE∥OH∥BF，
∵OC=OD，
∴OH为梯形EFDC的中位线，
∴EH=FH，
∵OH⊥MN，
∴AH=BH，
∴EH-AH=FH-BH，
即AE=BF．
（2）OH=$\frac{1}{2}$（CE+DF）；
证明：∵OH为梯形EFDC的中位线，
∴OH=$\frac{1}{2}$（CE+DF）．

点评 本题考查了垂径定理的应用，梯形的中位线定理的应用，熟练掌握垂径定理和梯形的中位线定理是解题的关键．