Question

如图①，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），将矩形OABC绕着点A顺时针旋转90°得到矩形AFED，直线y=kx+b经过点G（4，0），交y轴于点H．

（1）点D、E的坐标分别为　　．

（2）当直线GH经过EF中点K时，如图②，动点P从点C出发，沿着折线C﹣B﹣D以每秒1个单位速度向终点D运动，连结PH、PG，设点P运动的时间为t（秒），△PGH的面积为S（平方单位）．

①求直线GH所对应的函数关系式．

②求S与t之间的函数关系式．

（3）当直线GH经过点E时，如图③，点Q是射线B﹣D﹣E﹣F上的点，过点Q作QM⊥GH于点M，作QN⊥x轴于点N，当△QMN为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标．

Answer 1

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）由矩形的性质和选转的性质即可，

（2）利用待定系数法求出GH的解析式，三角形的面积等于另几个三角形的面积的和或差计算；

（3）根据运动特点和图形的性质，确定出点Q，N，M的坐标，利用两点间的距离公式求出对应相等，△QMN为等腰三角形，分三种情况建立方程求解，即可．

【解答】（1）解：∵矩形OABC绕着点A顺时针旋转90°得到矩形AFED，且B（2，4），

∴OA=AD=2，OC=AF=4，

∴D（2，2），E（6，2）；

故答案为D（2，2），E（6，2）；

（2）①解：∵E（6，2），G（4，0），

∴K（6，1），

∵直线y=kx+b经过点G，K，

∴，

∴，

∴直线GH的解析式为y=x﹣2，

②当0≤t≤2时，延长CB交HG于W，如图1，

S_△PHG=S_△SHW﹣S_△HCP﹣S_△PGW= [[6×12﹣6t﹣4（12﹣t）]=﹣t+12，

②当2＜t≤4时，延长BA交HG于T，如图2，

S_△PHG=S_△PTH+S_△PGT=×4（7﹣t）=﹣2t+14，

（3）解；①当0≤t≤2时，如图3，

由题意，得N（2，0），Q（2，4﹣t），M（，），

∴QN²=（4﹣t）²，MN²=+，QM²=，

（Ⅰ）、当QN=QM时，即QN²=QM²，

∴（4﹣t）²=+，

∴t=（舍），

（Ⅱ）、当QN=QM时，方法同（Ⅰ）的一样，得t=（舍），

（Ⅲ）、当MN=QM时，方法同（Ⅰ）的一样，得到方程无解，

②当2＜t≤6时，

由题意，得N（t，0），Q（t，2），M（，），

方法和①（Ⅰ）一样，分三种情况，

（Ⅰ）、当QN=QM时，t=6+2（舍），或t=6﹣2∴Q（6﹣2，2）；

（Ⅱ）、当QN=MN时，t=﹣8（舍）或t=2，∴Q（2，2）；

（Ⅲ）、当QM=MN时，t=4，∴Q（4，2）；

②当6＜t≤8时，

由题意，得N（6，0），Q（6，8﹣t），M（，﹣），

方法和①（Ⅰ）一样，分三种情况，

（Ⅰ）、当QN=QM时，t=10+2（舍），或t=10﹣2∴Q（6，2﹣2）；

（Ⅱ）、当QN=MN时，t=6（舍）或t=10（舍）

（Ⅲ）、当QM=MN时，t=8（舍）；

∴Q（6﹣2，2）或Q（2，2）或Q（4，2）或Q（6，2﹣2）；

【点评】本题是四边形的综合题，涉及到两点间的距离公式，坐标系中面积的计算方法，分段分情况讨论，解本题的关键是用t表示出点的坐标和分情况，本题的计算量比较大．