Question

【题目】我们把满足下面条件的△ABC称为“黄金三角形”：

①△ABC是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点P，使得P与P所在边的对角顶点连线把△ABC分成两个不全等的等腰三角形.

（1）△ABC中，AB=AC，∠A:∠C=1:2,可证△ABC是“黄金三角形”,此时∠A的度数为_________.

（2）△ABC中，AB=AC, ∠A为钝角.若△ABC为“黄金三角形”，则∠A的度数为________.

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和求解即可；

（2）画出图形，根据等腰三角形性质、外角定理及三角形内角和即可求出答案.

解：（1）∵∠A：∠C=1：2,

∴设∠A=x，则∠C=2x，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=2x，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴x+2x+2x=180°，

∴x=36°，即∠A=36°；

（2）△ABC如图所示，

∵△ABC为“黄金三角形”，

∴AB=AC，AD=BD，AC=CD，

∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，

∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，

∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=3∠B，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°，

∴∠BAC=108°，

故答案为：36°； 108°.