Question

已知：如图，点B在y轴的负半轴上，点A在x轴的正半轴上，且OA=2，tan∠OAB=2．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若点C的坐标为（-2，0），在直线AB上是否存在一点P，使△APC与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，
tan∠OAB=，
∵OA=2，tan∠OAB=2，
∴OB=4，
∵点B在y轴的负半轴上，
∴B（0，-4），

（2）∵OA=2，
∴A（2，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
∴，
∴直线AB的解析式为y=2x-4；

（3）过C作P₁C∥OB交AB于P₁
这时△APC与△AOB相似，
当x=-2时，y=-8，
则P₁（-2，-8），
过C作P₂C⊥AB交AB于P₂，过P₂作P₁D⊥AC于D，
由△AOB∽△ACP₂，求出AP₂=，
由△AOB∽△ADP₂，求出AD=，
则OD=，
当x=时，y=-，
则P₁（，-），
存在点P₁（-2，-8）或（，-），使△APC与△AOB相似．
分析：（1）由已知数据求出OB的长即可求出B的坐标；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），把A（2，0）和B（0，-4）的坐标代入求出k和b的值即可求出直线AB的解析式；
（3）在直线AB上是否存在一点P，使△APC与△AOB相似，过C作P₁C∥OB交AB于P₁，这时△APC与△AOB相似，过C作P₂C⊥AB交AB于P₂，过P₂作P₁D⊥AC于D，则△AOB∽△ACP₂，有相似三角形的性质即可求出符合题意的点P的坐标．
点评：本题考查了锐角三角函数值的运用、用待定系数法求一次函数的解析式以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性强，难度大，解题的时要注意分类讨论的数学思想的运用．