Question

4．如图，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形，最多可以有几个平行四边形？证明你的结论．

Answer 1

分析 在四边形ABCD中，由F，G，H，E分别是AB，BC，CD，DA的中点，根据三角形中位线定理可得FG∥AC，EH∥AC；FG=$\frac{1}{2}$AC，EH=$\frac{1}{2}$AC，那么FG∥EH，FG=EH，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形FGHE是平行四边形；同理可得四边形MGNE与四边形FMHN都是平行四边形；即最多可以有3个平行四边形．

解答 解：最多可以有3个平行四边形，即?FGHE；?MGNE；?FMHN．利用如下：
∵在四边形ABCD中，F，G，H，E分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴FG∥AC，EH∥AC；FG=$\frac{1}{2}$AC，EH=$\frac{1}{2}$AC，
∴FG∥EH，FG=EH，
∴四边形FGHE是平行四边形；
∵在四边形ABCD中G，E，M，N分别是BC，DA，BD，AC的中点，
∴MG∥CD，EN∥CD，MG=$\frac{1}{2}$CD，EN=$\frac{1}{2}$CD，
∴MG∥EN，MG=EN，
∴四边形MGNE是平行四边形；
∵在四边形ABCD中F，H，M，N分别是AB，CD，BD，AC的中点，
∴FM∥AD，NH∥AD；FM=$\frac{1}{2}$AD，NH=$\frac{1}{2}$AD，
∴FM∥NH；FM=NH，
∴四边形FMHN是平行四边形，
∴最多可以有3个平行四边形．

点评 本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了平行四边形的判定．