Question

9．如图，直线y=2x、y=$\frac{1}{2}$x分别与双曲线y=$\frac{1}{x}$、y=$\frac{2}{x}$在第一象限的分支交于A、B、C、D四点，则四边形ABCD的面积为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 首先过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，过点C作CG⊥x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，根据直线y=2x、y=$\frac{1}{2}$x分别与双曲线y=$\frac{1}{x}$、y=$\frac{2}{x}$在第一象限的分支交于A、B、C、D四点，从而求得点A、B、C、D的坐标，则可由S_△OAC=S_△OAM+S_梯形AMGC-S_△OCG=S_梯形AMGC，S_△BOD=S_梯形BNHD，求得△AOC和△BOD的面积，然后根据S_{四边形ABDC}=S_△BOD-S_△OAC求得答案．

解答 解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，过点C作CG⊥x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，
∵直线y=2x、y=$\frac{1}{2}$x分别与双曲线y=$\frac{1}{x}$、y=$\frac{2}{x}$在第一象限的分支交于A、B、C、D四点，
∴点A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$），点B（1，2），C（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），D（2，1）
∴S_△OAC=S_△OAM+S_梯形AMGC-S_△OCG=S_梯形AMGC=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{3}{4}$，S_△BOD=S_梯形BNHD=$\frac{1}{2}$（2+1）（2-1）=$\frac{3}{2}$
∴S_{四边形ABDC}=S_△BOD-S_△OAC=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据S_△OAC=S_梯形AMGC，S_△BOD=S_梯形BNHD求得△AOC和△BOD的面积是本题的关键．