如图.在平面直角坐标系中.直线y=-0.5x+2与坐标轴分别交于A.B两点.动点P从A点出发沿折线AO-OB-BA运动.点P在AO.OB.BA上运动的速度分别为2.1.$\sqrt{5}$.点E同时从O点出发沿OB以$\frac{1}{3}$的速度运动.直线EF∥x轴交BA于点F.设运动时间为t秒.当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时.点P和点E同时停止运动.请解答下列问题:(1)用t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

14．

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-0.5x+2与坐标轴分别交于A，B两点，动点P从A点出发沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为2，1，$\sqrt{5}$（长度单位/秒），点E同时从O点出发沿OB以$\frac{1}{3}$（长度单位/秒）的速度运动，直线EF∥x轴交BA于点F，设运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，点P和点E同时停止运动，请解答下列问题：
（1）用t表示点P在不同线段上的坐标及t的取值范围；
（2）作点P关于直线EF的对称点，在运动过程中，若以P，E，P′，F形成的四边形是菱形，则求t的值；
（3）点P在OA上时，以P，E，F三点为顶点的三角形能否成为直角三角形？若能，则求出所有可能的时间t；若不能，则说明理由．

分析（1）首先根据速度×时间=路程，求出点P运动的路程是多少，进而用t表示点P在不同线段上的坐标；然后根据路程÷速度=时间，求出点P在每条线段上的运动时间，求出t的取值范围即可；
（2）首先求出E、F以及它们的中点的坐标；然后判断出在运动过程中，若以P，E，P′，F形成的四边形是菱形，则点P和EF的中点的横坐标相同，据此判断出这样的t是否存在即可；
（3）根据题意，分三种情况：①当∠EFP=90°时；②当∠EPF=90°时；③当∠PEF=90°时；求出所有可能的时间t，使得以P，E，F三点为顶点的三角形成为直角三角形．

解答解：∵y=-0.5x+2，
∴A（4，0）、B（0，2），
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}{+2}^{2}}=2\sqrt{5}$；
（1）①当点P在AO上运动时，
∵4÷2=2（秒），
∴0＜t≤2，
∴点P在AO上的坐标是（4-2t，0），0＜t≤2；
②当点P在OB上运动时，
∵2÷1=2（秒），
∴2＜t≤4，
∴点P在AO上的坐标是（0，t-2），2＜t≤4；
③当点P在BA上运动时，如图1，
，
∵$2\sqrt{5}$÷$\sqrt{5}$=2（秒），
∴4＜t≤6，
∴点P在AO上的坐标是（4-2t，0）；
∵$\frac{CP}{OA}=\frac{BP}{BA}=\frac{\sqrt{5}（t-4）}{2\sqrt{5}}=\frac{t-4}{2}$，OA=2，
∴CP=2（t-4）=2t-8；
∵$\frac{DP}{BO}=\frac{AP}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{5}（t-4）}{2\sqrt{5}}=\frac{6-t}{2}$，BO=2，
∴DP=6-t；
∴点P在BA上的坐标是（2t-8，t-6），4＜t≤6；

（2）OE=$\frac{1}{3}t$，
由$\frac{1}{3}t=0.5x+2$，
解得x=$\frac{2}{3}t-4$，
∴F（$\frac{1}{3}t，\frac{2}{3}t-4$），
∴EF的中点M（$\frac{1}{3}t-2，\frac{1}{3}t$），
①当点P在AO上运动时，如图2，
，
要使在运动过程中，若以P，E，P′，F形成的四边形是菱形，
则4-2t=$\frac{1}{3}t-2$，
解得t=2$\frac{4}{7}$，
∵2$\frac{4}{7}＞2$，
∴当点P在AO上运动时，t不存在；
②当点P在BA上运动时，如图3，
，
要使在运动过程中，若以P，E，P′，F形成的四边形是菱形，
则2t-8=$\frac{1}{3}t-2$，
解得t=3.6，
∵3.6＜4，
∴当点P在BA上运动时，t不存在；
综上，可得
不存在t，使在运动过程中，若以P，E，P′，F形成的四边形是菱形．

（3）①如图4，
，
当∠EFP=90°时，
4-2t=$\frac{2}{3}t-4$，
解得t=$\frac{1}{3}$；
②如图5，
，
当∠EPF=90°时，
$\frac{\frac{1}{3}t-0}{0-（4-2t）}•\frac{\frac{1}{3}t-0}{（\frac{2}{3}t-4）-（4-2t）}=-1$，
解得t=$\frac{120±12\sqrt{2}}{49}$，
∵$\frac{120+12\sqrt{2}}{49}＞2，\frac{120-12\sqrt{2}}{49}＞2$，
∴不存在这样的t．
③如图6，
，
当∠PEF=90°时，
点P运动到点O，
此时t=2；
综上，可得
当t=$\frac{1}{3}$或t=2时，以P，E，F三点为顶点的三角形能否成为直角三角形．

点评（1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；解答此题的关键是．
（2）此题还考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质，以及菱形的性质，要熟练掌握．

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