Question

如图，Rt△ACB≌Rt△ACO，点A在第二象限内，点B，C在x轴的负半轴上，OA=4，∠CAO=30°．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A′CB′的位置，其中A′C交直线OA于点E，A′B′分别交直线OA，CA于点F，G，请求出线段A′E的长度；
（3）在图2的基础上，将△A′CB′绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为

3

4

时，求直线CE的函数表达式．

Answer 1

考点：待定系数法求一次函数解析式,勾股定理,旋转的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）首先在Rt△ACO中，根据∠CAO=30°解直角三角形可以得到OA，OC的长，然后就可以得到点C的坐标；
（2）根据已知条件容易得到△CEO为等边三角形，即可知CE长度，然后根据勾股定理可得AC的长度，再利用旋转的性质可知AC=A′C，即可求得A′E；
（3）过点E₁作E₁M⊥OC于点M，利用S_△COE1=4和∠E₁OM=60°可以求出点E₁的坐标，然后利用待定系数法确定直线CE的解析式．此题有两种情况，分别是E在第二或四象限里．

解答：解：（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，
∴C点的坐标为（-2，0）．

（2）根据题意可知∠ACA′=30°，
∴∠A′CO=60°，
∵∠AOC=90°-∠CAO=30°，
∴△CEO为等边三角形，
∴CE=CO=2，
根据旋转的性质可得：AC=A′C，
∵AC²+CO²=AO²，
∴AC=2

3

，
∴A′E=A′C-CE=2

3

-2

（3）如答图1，过点E₁作E₁M⊥OC于点M．
∵S_△COE1=

1

2

CO•E₁M=

3

4

，
∴E₁M=

3

4

．
∵在Rt△E₁MO中，∠E₁OM=60°，则

-2k1+b1=0 - 1 4 k1+b1= 3 4

，
∴tan60°=

E1M

OM

，
∴OM=

1

4

，
∴点E₁的坐标为（-

1

4

，

3

4

）．
设直线CE₁的函数表达式为y=k₁x+b₁，则

-2k1+b 1=0 - 1 4 k1+b1= 3 4

，
解得

k1= 3 7 b1= 2 3 7

．
∴y=

3

7

x+

2 3

7

．
同理，如答图2所示，点E₂的坐标为（

1

4

，-

3

4

）．
设直线CE₂的函数表达式为y=k₂x+b₂，则

-2k2+b2=0 1 4 k2+b2=- 3 4

，
解得

k2=- 3 9 b2=- 2 3 9

．
∴y=-

3

9

x-

2 3

9

．

点评：考查了直角三角形、一次函数．此题是开放性试题，把直角三角形、一次函数等知识综合在一起，要求学生对这些知识比较熟练，利用几何方法解决代数问题．