Question

如图，双曲线y=

k

x

（x＞0）的图象经过矩形OABC的AB、BC边的中点F、E，若OE=

5

且四边形OEBF的面积为2．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求点E，B，F的坐标；
（3）若点P为x轴上一动点，求出点P的坐标，使得△POE为等腰三角形．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）设矩形AOCB长为a，宽为b，表示出AF，OA，CE，OC，进而表示出三角形AOF与三角形COE面积，得到四边形BEOF面积，根据三角形AOF面积与四边形BEOF面积之比求出三角形AOF面积，利用反比例函数k的几何意义求出k的值，即可确定出解析式；
（2）由k的值，利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOF面积，得出ab=4，再利用勾股定理列出关于a与b的方程，的求出方程的解得到a与b的值，即可确定出各点的坐标；
（3）分三种情况考虑：以O为圆心，OE长为半径画弧，与x轴交于两点，此时△POE为等腰三角形；以E为圆心，OE长为半径画弧，与x轴交于一点P；做出线段OE的垂直平分线，交x轴于点P，分别求出P坐标即可．

解答：解：（1）矩形AOCB长为a，宽为b，
则有AF=

1

2

b，OA=a，CE=

1

2

a，OC=b，
∴S_△AOF=

1

2

AF•OA=

1

4

ab，S_△COE=

1

2

CE•OC=

1

4

ab，
∴S_{四边形BEOF}=ab-

1

4

ab-

1

4

ab=

1

2

ab，
∴

S△AOF

S四边形BEOF

=

1 4 ab

1 2 ab

=

1

2

，
∵S_{四边形BEOF}=2，
∴S_△AOF=1，即

1

2

|k|=1，
∵反比例函数图象位于第一象限，
∴k=2，
则反比例解析式为y=

2

x

；

（2）由k=2，得到S_△AOF=

1

2

AF•OA=

1

4

ab=1，即ab=4①，
在Rt△COE中，根据勾股定理得：OC²+CE²=OE²，即b²+

1

4

a²=5②，
联立①②解得：a=b=2或a=4，b=1，
当a=b=2时，E（1，2），F（2，1），B（2，2）；
当a=4，b=1时，E（2，1），F（4，

1

2

），B（4，1）；
（3）当a=b=2时，
以O为圆心，OE长为半径画弧，与x轴交于两点，此时△POE为等腰三角形，P坐标为（

5

，0）；（-

5

，0）；
以E为圆心，OE长为半径画弧，与x轴交于一点，此时EP=EO=

5

，P坐标为（2，0）；
做出线段OE的垂直平分线，交x轴于点P，此时P（2.5，0）；
当a=4，b=1时，
以O为圆心，OE长为半径画弧，与x轴交于两点，此时△POE为等腰三角形，P坐标为（

5

，0）；（-

5

，0）；
以E为圆心，OE长为半径画弧，与x轴交于一点，此时EP=EO=

5

，P坐标为（4，0）；
做出线段OE的垂直平分线，交x轴于点P，此时P（

9

4

，0）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，反比例函数k的几何意义，等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．