Question

13．已知一次函数y₁=k₁x+b与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$相交于点A、B，与y轴交于点C，与x轴交于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，点O为DE中点，连接CE，已知S_△ADE=4，tan∠DCO=$\frac{1}{2}$．
（1）求y₁和y₂的解析式；
（2）将△ACE绕着点E顺时针旋转90°得△A'C'E，连接AA'、BA'，求△AA'B的面积．

Answer 1

分析 （1）由于O是DE的中点，CO∥AE，故可知CO是△ADE的中位线，从而可知2CO=AE，设CO=m，然后利用S_△ADE=4，tan∠DCO=$\frac{1}{2}$求出点A、C的坐标后即可求出y₁和y₂的解析式．
（2）分别求出A′D、BF、AE的长度，然后利用三角形面积公式即可求出△AA'B的面积．

解答 解：（1）∵O是DE的中点，CO∥AE，
∴CO是△ADE的中位线，
∴AE=2CO，
设CO=m，
∴AE=2m，
∵tan∠DCO=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DO}{CO}=\frac{1}{2}$，
∴DO=$\frac{1}{2}$m，
∴DE=m，
∵S_△ADE=4，
∴$\frac{1}{2}$DE•AE=4，
∴m²=4，
∴m=2，
∴C（0，2），A（1，4），
将点A（1，4）代入y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$，
∴k₂=4，
将A（1，4）和C（0，2）代入y₁=k₁x+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{{k}_{1}+b=4}\end{array}\right.$，
∴解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y₁=2x+2，y₂=$\frac{4}{x}$，
（2）过点B作BF⊥x轴于点F，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得：x=-2或x=1，
∴B（-2，-2），
∴BF=2，
令y=0代入y₁=2x+2，
∴D（-1，0），
由题意可知：A′E=AE=4，
∴A′D=OD+OE+AE=6，
∴△AA'B的面积为：$\frac{1}{2}$A′D•BF+$\frac{1}{2}$A′D•AE=18，

点评 本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，三角形面积公式，旋转的性质，本题综合程度较高．