Question

8．问题探究
（1）请在图①的正方形ABCD的对角线BD上作一点P，使PA+PC最小；
（2）如图②，点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，点E为BC边的中点，求作一点P，使PE+PC最小，并求这个最小值．
问题解决
（3）如图③，李师傅有一块边长为1000米的菱形ABCD采摘园，AC=1200米，BD为小路，BC的中点E为一水池，李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P，为了节省土地，使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出的点P位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的对称性直接连接AC即可；
（2）作出点C关于BD的对称性，连接C'E交BD于P，进而判断出△CEC'是直角三角形，利用勾股定理即可求出；
（3）直接连接AE交BD于P，再过点E作EF⊥AC，构造出直角三角形，再利用三角形的中位线求出EF，进而利用勾股定理求出CF，最后在Rt△AEF中利用勾股定理即可．

解答 解：（1）如图①，

连接AC交BD于P，则AP+CP最小=AC；

（2）如图②，作点C关于BD的对称点C'交BD于F，连接C'E交BD于P，则PE+PC最小=C'E．
∵BD是矩形ABCD的对角线，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，
在Rt△BCD中，CD=2，BC=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CBD=30°，
由对称知，CC'=2CF，CC'⊥BD，
∴∠CFD=90°，
∴∠BCF=60°，∠DCF=30°，
在Rt△CDF中，CD=2，∠DCF=30°，
∴CF=$\sqrt{3}$，
∴CC'=2CF=2$\sqrt{3}$，
∵点E为BC边的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴CF=CE，
连接EF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CF=C'F，
∴△CEC'是直角三角形，
在Rt△CEC'中，CC'=2$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{3}$，
∴C'E=3，
∴PE+PC最小为3；

（3）如图③，菱形ABCD的对角线相交于点O，
∴OC=OA=$\frac{1}{2}$AC=600，AC⊥BD，
在Rt△BOC中，OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=800，
过点E作EF⊥AC于F，
∴EF∥OB，
∵点E是BC的中点，EF=$\frac{1}{2}$OB=400，
∵CE=$\frac{1}{2}$BC=500，
根据勾股定理得，CF=$\sqrt{C{E}^{2}-E{F}^{2}}$=300，
∴AF=AC-CF=1200-300=900，
连接AE交BD于P，
即：PC+PE最小=AE，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=100$\sqrt{97}$，

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，对称的性质，三角形的中位线，勾股定理；解（2）的关键是判断出△CEC'是直角三角形，解（3）的关键是构造出直角三角形AEF．