Question

7．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点．点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM．垂足为E、F．
（1）当AD=2AB时．求证：四边形PEMF为矩形；
（2）在（1）的条件下．当点P运动到什么位置时．矩形PEMF变为正方形．为什么!

Answer 1

分析 （1）先利用AD=2AB得AB=AM=DM=CD，则可判断△ABM和△DMC为等腰直角三角形，于是得到∠BMC=90°，加上∠PFM=∠PEM=90°，所以可判断四边形PEMF为矩形；
（2）当点P为BC的中点时，矩形PEMF变为正方形．当点P为BC的中点，利用等腰三角形的性质可判断点P在∠BMC的平分线上，则根据角平分线的性质得到PE=PF，然后根据正方形的判定可判断四边形PEMF为正方形．

解答 （1）证明：∵AD=2AB，
而M是AD的中点．
∴AB=AM=DM=CD，
∴△ABM和△DMC为等腰直角三角形，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠PFM=∠PEM=90°，
∴四边形PEMF为矩形；
（2）解：当点P为BC的中点时，矩形PEMF变为正方形．
理由如下：∵点P为BC的中点，
∴点P在∠BMC的平分线上，
∴PE=PF，
而四边形PEMF为矩形；
∴四边形PEMF为正方形．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了矩形的判定与性质．