Question

【题目】已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，点P是AB上一点，连接CP，将∠B沿CP折叠，使点B落在B'处．以下结论正确的有________

①当AB'⊥AC时，AB'的长为；

②当点P位于AB中点时，四边形ACPB'为菱形；

③当∠B'PA=30°时，；

④当CP⊥AB时，AP：AB'：BP=1：2：3．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由折叠的性质及直角三角形的性质对结论一一判断即可．

解：①AC=1，∠B=30°可知BC=，由翻折可知：B′C=BC=，
因为AB'⊥AC，由勾股定理可知：
AB'==，正确．
②当点P位于AB中点时，CP=PB=PA=AC=PB′，∠B'PA=PAC=60°，PB'∥AC，
所以四边形ACPB'是平行四边形，
又PC=AC，
所以四边形ACPB'是菱形，正确．
③当∠B'PA=30°时，可知四边形BCB′P是菱形，BP=BC=；AP=2-，

成立，故不正确．
④当CP⊥AB时，∠B'=∠B'CA=30°，AC=AB'，∠ACP=∠B=30°，
设AP=a，则AB'=AC=2a；AB=4a，PB=3a；
所以：AP：AB'：BP=a：2a：3a=1：2：3，正确．
故答案为：①②④．