Question

【题目】如图，点E为□ABCD中一点，EA=ED，∠AED=90，点F，G分别为AB，BC上的点，连接DF,AG，AD=AG=DF，且AG⊥DF于点H，连接EG，DG，延长AB,DG相交于点P．

（1）若AH=6，FH=2，求AE的长；

（2）求证：∠P=45；

（3）若DG=2PG，求证：∠AGE=∠EDG．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见详解；（3）见详解

【解析】

（1）在Rt△ADH中，设AD=DF=x，则DH=x-2，由勾股定理，求出AD的长度，由等腰直角三角形的性质，即可求出AE的长度；

（2）根据题意，设∠ADF=2a，则求出∠FAH=，然后∠ADG=∠AGD=，再根据三角形的外角性质，即可得到答案；

（3）过点A作AM⊥DP于点M，连接EM，EF，根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，得到角之间的关系，从而通过等量互换，即可得到结论成立．

解：（1）∵AG⊥DF于点H，

∴∠AHD=90°，

∵AH=6，FH=2，

在Rt△ADH中，设AD=DF=x，则DH=DFFH=x-2，

由勾股定理，得：，

∴，

∴，

即AD=DF=AG=10，

∵EA=ED，∠AED=90，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE=DE=；

（2）如图：

∵∠AED=90，AG⊥DF，

∴∠EAH=∠EDH，

设∠ADF=2a，

∵DA=DF，

则∠AFH=∠DAF=，

∴∠FAH=，

∴∠DAH=，

∵AD=AG，

∴∠ADG=∠AGD=，

∴；

（3）过点A作AM⊥DP于点M，连接EM，EF，如图：

∵AD=AG，DG=2PG，

∴PG=GM=DM，

∵∠P=45°，

∴△APM是等腰直角三角形，

∴AM=PM=DG，

∵∠ANO=∠DNM，∠AED=∠AMD=90°，

∴∠OAM=∠ODG，

∵AE=DE，AM=DG，

∴△AEM≌△DEG，

∴EM=EG，∠AEM=∠DEG，

∴∠AED+∠DEM=∠DEM+∠MEG，

∴∠MEG=∠AED=90°，

∴△MEG是等腰直角三角形；

∴∠EMG=45°，

∵AM⊥DP，

∴∠AME=∠EMG=45°，

∴ME是∠AMP的角平分线，

∵AM=PM，

∴ME⊥AP，

∵∠AOH=∠DOE，

∴∠OAH=∠ODE，

∴△AEG≌△DEF（SAS），

∴∠AEG=∠DEF，

∴∠AED+∠AEF=∠AEF+∠FEG，

∴∠FEG=∠AED=90°，

∴∠FEG+∠MEG=180°，

即点F、E、M，三点共线，

∴MF⊥AP，

∵AM平分∠DAG，

∴∠GAM=∠DAM，

∵∠EAN+∠DAM=45°，

∴∠EAN+∠GAM=45°，

∵∠PAG+∠GAM=45°，

∴∠EAN=∠PAG，

∵∠PAG+∠AFH=∠DFE+∠AFH=90°，

∴∠EAN=∠PAG=∠DFE，

∵△AEG≌△DEF，

∴∠AGE=∠DFE=∠EAN，

∵∠EAN=∠EDM，

∴∠AGE=∠EDM，

∴∠AGE=∠EDG．