【题目】已知抛物线y=ax2﹣x+c经过A(﹣2,0),B(0,2)两点,动点P,Q同时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动,动点P沿x轴正方向运动,动点Q沿y轴正方向运动,连接PQ,设运动时间为t秒
(1)求抛物线的解析式;
(2)当BQ=AP时,求t的值;
(3)随着点P,Q的运动,抛物线上是否存在点M,使△MPQ为等边三角形?若存在,请求出t的值及相应点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=-x2-
x+2;(2)当BQ=
AP时,t=1或t=4;(3)存在.当t=
时,抛物线上存在点M(1,1),或当t=
时,抛物线上存在点M(﹣3,﹣3),使得△MPQ为等边三角形.
【解析】
(1)把A(﹣2,0),B(0,2)代入y=ax2-x+c,求出解析式即可;
(2)BQ=AP,要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况,有此易得BQ,AP关于t的表示,代入BQ=
AP可求t值.
(3)考虑等边三角形,我们通常只需明确一边的情况,进而即可描述出整个三角形.考虑△MPQ,发现PQ为一有规律的线段,易得OPQ为等腰直角三角形,但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时△MPQ为等边三角形.若退一步考虑等腰,发现,MO应为PQ的垂直平分线,即使△MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点,但要明确这些交点仅仅满足△MPQ为等腰三角形,不一定为等边三角形.确定是否为等边,我们可以直接由等边性质列出关于t的方程,考虑t的存在性.
(1)∵抛物线经过A(﹣2,0),B(0,2)两点,
∴,解得
∴抛物线的解析式为y=-x2-
x+2.
(2)由题意可知,OQ=OP=t,AP=2+t.
①当t≤2时,点Q在点B下方,此时BQ=2-t.
∵BQ=AP,∴2﹣t=
(2+t),∴t=1.
②当t>2时,点Q在点B上方,此时BQ=t﹣2.
∵BQ=AP,∴t﹣2=
(2+t),∴t=4.
∴当BQ=AP时,t=1或t=4.
(3)存在.
作MC⊥x轴于点C,连接OM.
设点M的横坐标为m,则点M的纵坐标为-m2-
m+2.
当△MPQ为等边三角形时,MQ=MP,
又∵OP=OQ,
∴点M点必在PQ的垂直平分线上,
∴∠POM=∠POQ=45°,
∴△MCO为等腰直角三角形,CM=CO,
∴m=-m2-
m+2,
解得m1=1,m2=﹣3.
∴M点可能为(1,1)或(﹣3,﹣3).
①如图,
当M的坐标为(1,1)时,
则有PC=1﹣t,MP2=1+(1﹣t)2=t2﹣2t+2,
PQ2=2t2,
∵△MPQ为等边三角形,
∴MP=PQ,
∴t2﹣2t+2=2t2,
解得t1=,t2=
(负值舍去).
②如图,
当M的坐标为(﹣3,﹣3)时,
则有PC=3+t,MC=3,
∴MP2=32+(3+t)2=t2+6t+18,PQ2=2t2,
∵△MPQ为等边三角形,
∴MP=PQ,
∴t2+6t+18=2t2,
解得t1=,t2=
(负值舍去).
∴当t=时,抛物线上存在点M(1,1),或当t=
时,抛物线上存在点M(﹣3,﹣3),使得△MPQ为等边三角形.
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【题目】、
两组卡片共5张,
组中三张分别写有数字2、4、6,
组中两张分别写有数字3、5,它们除数字外其他都相同.
(1)随机从组中抽取一张,则抽到数字是2的概率为______;
(2)分别随机从组、
组中各抽取一张.现制定这样一个游戏规则:若所抽取的两个数字之积为3的倍数,则甲获胜;否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗?为什么?请你用画树状图或列表的方法计算并说明理由.
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【题目】如图,点E为□ABCD中一点,EA=ED,∠AED=90,点F,G分别为AB,BC上的点,连接DF,AG,AD=AG=DF,且AG⊥DF于点H,连接EG,DG,延长AB,DG相交于点P.
(1)若AH=6,FH=2,求AE的长;
(2)求证:∠P=45;
(3)若DG=2PG,求证:∠AGE=∠EDG.
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【题目】图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,小正方形格子的边长为1,Rt△ABC三个顶点都在格点上,请解答下列问题:
(1)写出A,C两点的坐标;
(2)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1;
(3)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并直接写出点C旋转至C2经过的路径长.
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【题目】如图,在⊙O中,点D是⊙O上的一点,点C是直径AB延长线上一点,连接BD,CD,且∠A=∠BDC.
(1)求证:直线CD是⊙O的切线;
(2)若CM平分∠ACD,且分别交AD,BD于点M,N,当DM=2时,求MN的长.
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【题目】为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况,在全校范围内随机抽查部分学生,对他们喜爱的体育项目(每人只选一项)进行了问卷调查,将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图,请根据图中提供的信息解答下列各题.
(1)m= %,这次共抽取了 名学生进行调查;并补全条形图;
(2)请你估计该校约有 名学生喜爱打篮球;
(3)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人(三男一女)中随机选取2人进行体能测试,请利用列表或画树状图的方法,求抽到一男一女学生的概率是多少?
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【题目】综合与实践:
动手操作:如图1,四边形是一张矩形纸片,
,
,点
,
分别在
,
边上,且
,连接
,
.将
,
分别沿
,
折叠,点
,
分别落在点
,
处.
探究展示:
(1)“刻苦小组”发现:,且
,并展示了如下的证明过程.
证明:在矩形中,
,
,
.
又∵,
∴.
∴,
.
∵,
∴.(依据1)
∴.
∴.(依据2)
反思交流:①上述证明过程中的“依据1”与“依据2”分别指什么?
②“勤奋小组”认为:还可以通过证明四边形是平行四边形获证,请你根据“勤奋小组”的证明思路写出证明过程.
猜想证明:
(2)如图2,折叠过程中,当点,
在直线
的同侧时,延长
交
于点
,延长
交
于点
,则四边形
是什么特殊四边形?请说明理由.
联想拓广:
(3)如图3,连接,
,
.
①当时,
的长为________;
②的长有最大值吗?若有,请你直接写出
长的最大值和此时四边形
的形状;若没有,请说明理由.
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【题目】如图,CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与点B,C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG;②S△FAB∶S四边形CBFG=1∶2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ·AC.其中所有正确结论的序号是________.
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