Question

【题目】综合与实践：

动手操作：如图1，四边形是一张矩形纸片，，，点，分别在，边上，且，连接，.将，分别沿，折叠，点，分别落在点，处.

探究展示：

（1）“刻苦小组”发现：，且，并展示了如下的证明过程.

证明：在矩形中，，，.

又∵，

∴.

∴，.

∵，

∴.（依据1）

∴.

∴.（依据2）

反思交流：①上述证明过程中的“依据1”与“依据2”分别指什么？

②“勤奋小组”认为：还可以通过证明四边形是平行四边形获证，请你根据“勤奋小组”的证明思路写出证明过程.

猜想证明：

（2）如图2，折叠过程中，当点，在直线的同侧时，延长交于点，延长交于点，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由.

联想拓广：

（3）如图3，连接，，.

①当时，的长为________；

②的长有最大值吗？若有，请你直接写出长的最大值和此时四边形的形状；若没有，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①见解析②见解析；（2）矩形，理由见解析；（3）① ②有；；菱形

【解析】

（1）①根据平行线的判定与性质即可得解；

②由矩形的性质进行等量转换得出，即可判定四边形是平行四边形，即可得证；

（2）首先由对折的性质得出，，然后利用，进行等量转换，得出，即可判定四边形是矩形；

（3）①延长C′A′交AD于G，A′C′交BC于H，利用△A′GE≌△C′HF，得出AG=BH=4，再利用勾股定理构建方程，即可得出AE；

②当⊥BD时，的长有最大值，利用菱形的性质以及勾股定理即可得解.

（1）①“依据1”指两直线平行，内错角相等；

“依据2”指同位角相等，两直线平行.

②证明：在矩形中，，.

又∵，

∴，即.

∴四边形是平行四边形.

∴，且.

（2）四边形是矩形，

延长，交于点，如下图.

由对折可知，.

∵，

∴.

同理，.

由（1）得，，

∴.

由对折可知，，.

∴

在中，.

在矩形中，，即.

∴.

∴.

∴.

∴.

∴四边形是矩形.

（3）①延长C′A′交AD于G，A′C′交BC于H，如图所示：

∵

∴GH∥AB

∴∠A′GE=∠C′HF=90°，AG=BH

∵∠EA′G=∠FC′H，A′E=C′F

∴△A′GE≌△C′HF

∴EG=FH

∵AE=CF

∴AG=CH

∴AG=BH=4

∴

∴

设AE=x，则EG=4-x，

在Rt△A′EG中，

即

解得，即AE=；

②当⊥BD时，的长有最大值，最大值为，此时四边形是菱形.