Question

【题目】如图，在⊙O中，点D是⊙O上的一点，点C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A＝∠BDC．

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）MN＝2.

【解析】

（1）如图，连接OD．欲证明直线CD是⊙O的切线，只需求得∠ODC＝90°即可；

（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，根据勾股定理可求得MN的长．

（1）证明：如图，连接OD．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，即∠A+∠ABD＝90°，

又∵OD＝OB，

∴∠ABD＝∠ODB，

∵∠A＝∠BDC；

∴∠CDB+∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°．

∵OD是圆O的半径，

∴直线CD是⊙O的切线；

（2）解：∵CM平分∠ACD，

∴∠DCM＝∠ACM，

又∵∠A＝∠BDC，

∴∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，

∵∠ADB＝90°，DM＝2，

∴DN＝DM＝2，

∴MN＝＝2．