Question

【题目】如图所示，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线经过点、．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点的直线交抛物线于点，交直线于点，连接，当直线平分的面积时，求点的坐标；

（3）如图所示，把抛物线位于轴上方的图象沿轴翻折，当直线与翻折后的整个图象只有三个交点时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据已知条件求出B、C两个点的坐标，再把这两个点的坐标代入二次函数即可求出抛物线的解析式；

（2）根据题意画出图形根据三角形的面积即可求解；

（3）先求出翻折后的抛物线解析式，再利用抛物线与直线相交的特点即可求解．

（1）令直线，x=0,得y=4

令y=0,则-x+4=0，解得x=4

∴点、的坐标分别为、，

把点、的坐标分别代入，

得，

解得

抛物线的表达式为：．

（2）令=0，

解得x1=-1,x2=4,

∴，

如图所示，过点作于，

直线平分的面积，

，

当时，，

把代入，得，

直线的解析式为，

由解得，

；

（3）∵=，故顶点坐标为（，）

∴翻折后的抛物线的顶点坐标为（，-）

∴翻折后的抛物线为=，

∴翻折后的整个图象包括两部分：分别是：

抛物线y＝x23x4（1≤x≤4）和y＝x2＋3x＋4（x＞4或x＜1）．

①当直线y＝kx＋k与抛物线x23x4＝（1≤x≤4）相交时，

由，得x23x4＝kx＋k，

整理，得x2（k＋3）x（k＋4）＝0

解得x1＝1，x2＝k＋4．

所以y1＝0，y2＝k2＋5k．

所以两个函数图象有两个交点，

其中一个交点为A（1，0），另一个交点坐标为（k＋4，k2＋5k）．

观察图象可知：另一个交点在x轴下方，横坐标在1与4之间，纵坐标在与0之间．

所以1＜k＋4＜4，解得5＜k＜0．

＜k2＋5k＜0，整理，得

4k2＋20k＋25＞0或k2＋5k＜0，

解得，（2k＋5）2＞0或5＜k＜0．

k为任意实数，（2k＋5）2＞0都成立，

所以5＜k＜0；

②当直线y＝kx＋k与图象y＝x2＋3x＋4（x＞4，或x＜1）相交时，

x2＋3x＋4＝kx＋k，

整理得x2＋（k3）x＋（k4）＝0

解得x1＝1，x2＝4k，

所以y1＝0，y2＝5kk2．

所以两个函数图象有两交点，

其中一个是点A（1，0），另一个交点坐标为（4k，5kk2）．

观察图象可知：另一个交点的横坐标大于4，纵坐标小于0，

即4k＞4，解得k＜0．

5kk2＜0，

∴k（5k）＜0，

∵k＜0，

∴5k＞0，

∴k＜5

∴k＜0

∴综上所述：当直线y＝kx＋k与翻折后的整个图象只有三个交点时，k的取值范围是：5＜k＜0．